【高二上】【电容器】带电粒子在变化电场中的计算逻辑

两个电容器上电极板之间的电压相等。 两个电极板上携带的总电荷量维持不变。

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带电粒子（或带电球体）在变化电场中的运动计算逻辑。

这一类的题目基本都作为大题出现在各种考试中，我个人认为要想高效地处理好这类问题需要建立一个框架思路，基本就两个需要重点思考的方向：一个是带电体在场中的运动轨迹大概会怎样（一直匀变速直线运动还是也会包含匀速直线等）；另一个是做不同类型运动的临界条件是什么。

心中默念这两条主要框架，基本都不会走弯路：

1.带电体要做什么类型的运动

2.带电体做不同类型运动的临界条件

现在，让我们找个具体题目来展示一下如何用刚才的解题逻辑来解决问题。

如下图甲所示，两平行板电容器水平放置，间距为d，金属板长L=2d，两金属板加如图乙所示的电压（初始时上金属板带正电），其中U₀=16md²/qT²，一粒子源射出的带电粒子恰好从上金属板坐断的下边缘水平进入两金属板间。该粒子源能随时均匀发射质量为m、电荷量为+q、初速度v₀=4d/T的带电粒子，重力忽略不计：

(1)求能从板间飞出的粒子在板间运动的时间；

(2)若粒子在t=T/4时刻进入两金属板之间，则粒子分出金属板时的偏移量y是多少？

(3)若发射时间足够长，则能够从两金属板间飞出的粒子占总入射粒子数的比例是多少？ 

在忽略重力的情况下，带电粒子水平射入，但受到竖直方向的力的作用，这其实就是平抛运动的变形而已，只不过现在是电场力替换掉了原来宏观的机械运动里的重力而已。理解带电粒子的运动是一个类平抛运动非常重要，是解决这个问题的第一步。也许是一个独立的类平抛运动，也许是几个类平抛运动运动的叠加。

现在我们来具体分析。我们需要注意到，无论粒子怎么运动，它的运动都可以往水平方向和竖直方向进行分解。竖直方向不管怎么运动，是先加速再减速也好，还是只做一个加速也好，带电粒子在水平方向上没有受到力的作用，这意味着它会借着初始速度v₀在水平方向做匀速直线运动。明白了这一点，我们可以直接计算出第一问，带电粒子要想飞出平行板，水平位移就是板长L=2d，v₀t=2d，所以t=2d/v₀=2d/(4d/T)=T/2

当带电粒子在T/4时刻进入电场，此时带电体受到竖直向下的电场力，如下：

这样的受力情况可以维持在T/4～T/2之间，共计Δt=T/4的时间间隔，在这个Δt=T/4内，竖直方向的位移y和水平方向位移x：

由以上关系式可得：

y=d/2

x=d

这个结果意味着带电粒子刚好运动到电极板的重点位置，然后立马遇到相反的电场，此时受力如图：

    

因为总共时间是T/2，在使用了T/4后，还剩下T/4，也就是T/2～3T/4的时间内运动。刚才在T/4～T/2时间内从左上角平抛运动运动到正中间位置，速度从v₀变成v_t，然后电场力反向，加速度反向，但是这相当于把刚才的运动再逆回去，结束时刚好速度从v_t变成v₀，恢复到水平状态。我画一张图大家就可以很容易理解了：

     

当从T/4进入电场时，粒子恰好从下极板的右下角水平射出，这实际上是一个临界状态。此时竖直方向的偏移量y=d。         

第三问很多人一看到完全没有思路，实际上第三问基本都要用到第二问的结论或者借鉴第二问的思路，从第二问粒子从某个时刻进入电场我们可以推测粒子的运动状态或者能够飞出电极板可能和进入电场的时刻有关系。我们不妨先试几个特殊时刻，比如0、T/8等。

当从0时刻进入电场，那么如果按照水平走过板长L = 2d，用的时间是T/2，如果继续按照T/2的时间，竖直方向的位移：

因为板间距只有d，y=2d意味着它会打到下极板上，粒子无法飞出极板，而第二问当粒子T/4进入电场就可以刚好飞出，这其实意味着进入时刻从0到T/4，粒子打到下极板的位置会从0时刻对应的位置逐渐向右移动，直至T/4时刻对应最右端的极限位置。实际上我们可以通过数学计算证明一下，有兴趣的同学可以自行计算证明。

我们可以继续刚才的思路，超过T/4时，粒子就可以飞出极板，且数值方向的偏移量y从d开始逐渐向0靠近，直到某个时刻对应的飞出轨迹恰好沿着上极板最右端。

注意：这个射入时刻必须在T/2之前，得保证粒子开始一定要先有一段向下的平抛运动，然后历经T/2时刻电场的反向。因为如果一开始是向上的电场，粒子刚进入电场就发生向上的偏转打到上极板。如果能够飞出极板，总时间还得是T/2，但是这个总时间可以分成三段考虑，原理如图：

         

剩下的就是一个数学计算的过程了：

在距离T/2时刻前Δt时间内：

竖直位移y₁ = aΔt²/2

在距离T/2时刻后Δt时间内：

竖直位移y₂=y₁ = aΔt²/2

然后在接下来的T/2-2Δt内：

竖直位移y₃= a(T/2-2Δt)²/2

由偏转轨迹可以推断：

y₃=2y₁

由以上关系式可知：

如图所示灰色区域，对应的时间就是发射的粒子可以飞出的状态：

这个时间间隔可以计算出为

整个周期是在0～T的范围，一定要经历过U₀，然后经过-U₀，合计T/2。

所以时间范围的比值就是

留给大家思考和讨论。

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