高考数学卷的结构
高考数学一定是考察的已学过的知识,并且一道题考察的核心知识点一般就2个!不超纲,不出偏题怪题,在高考考试大纲里面有明确的规定!其中,单选题一般会有2道基础小题,一般是集合和复数,4~5道中档小题,1~2道压轴小题。多选题以中档题为主,偶尔会有1道压轴题。填空题会有1道基础题,2~3道中档题或有1道压轴小题。大题部分4~5道中档题,1~2道压轴题。这就是整张高考试卷的结构。
见到一眼看上去没有思路的题目,不要乱了方寸,一步步进行分析、并联想,便会有拨云见日的成就感。这样学起来就很有趣,也很轻松。
好了,先深吸一口气,憋住10s钟,慢慢吐出。(目的是放松后,接下来全神贯注)
时间到,接下来先上道开胃小菜。
题目1:已知数列{an} an^3=an-1^5,求an?
打眼一瞧,给出的是递推关系,且是幂的形式。没见过数列幂的形式啊!该怎么转化呢?此时,不要着急按照以下方法,按部就班进行思考,相信自己一定能做出来啦!
回想一下,高中阶段对于数列求通项,基本需要转化成等差数列和等比数列进行求解。
回想一下,求数列通项常规使用方法【累加(乘)法,倒序变换法,待定系数法,归纳法,构造法(构造等差或等比数列)】。实际上构造法中有相似的幂数列处理方式。这里假设,没有可以直接使用的方法。
我们回到题目,看看能否降幂,将其转化为常规的1次项进行处理。若要降幂,有什么方法可以实施。奥,取对数不就行了,原式转化成3ln an=5 ln
an-1 ,到这里基本上能看出来是什么数列了吧,{
ln an }是一个等比数列,再通过对数逆运算获得an
题目2:已知{an} ,2Sn-an=n^2,
1)求an;
2)若bn=1/an 证明ln(n+1)+n/2(n+1)<Sbn≤ln(n)+1
对于第一问有两种思路
思路一:给定了数列和数列项,首先想到的是Sn-Sn-1=an 可以利用Sn+1和Sn建立起an+1和an的某种关系(一般是等差或等比)。
本题:an+an-1=2n-1;若是-号就好了,怎样变-呢?an+1+an=2n;两式相减得到了an+1-an-1=2 ;{an+1-an-1}是一个等差数列,分奇偶项;此时可以求得an=n;
思路二:利用数列和的累加/累减 Sn,Sn-1.......S1 , 直接求出an=n;
2Sn-an=n^2
2Sn-1-an-1=(n-1)^2
2Sn-2-an-2=(n-2)^2
...
有兴趣的自己做一下!
对于第二问
没有经验的同学,一上来就要直接求Sbn,{1/n} 看似简单,但是直接求Sbn,是求不出来,{1/n}是一个发散数列(调和级数,建议上网自行搜索一下相关概念,下次见到时,不要一上来就考虑求和)!务必记住!{1/n}与{1/2n}与{1/(2n+1)}都是调和级数。
既然求不出和来,我们就看单项,如果每一项大于左边,小于等于右边,不就证明了吗!
接下来,我们来构造数列通项,既然是和,还是利用第一步的解题思路
ln(n+1)+n/2(n+1)<b1+b2+...bn<ln(n)+1 ------------------------①
ln(n)+(n-1)/2n<b1+b2+...bn-1<ln(n-1)+1 -----------------------②
①-②:ln[(n+1)/n]+(n-1)/2n<bn<ln[n/(n-1)]只要证明此式成立即可!
我们先证明左边:ln[(n+1)/n]+n/2(n+1)+(n-1)/2n<1/n
此式化简得到ln(1+1/n)+1/(1+1/n)-(1-1/n)/2<1/n,经整理得:ln(1+1/n)+ ln(1+1/n)+1/(1+1/n)-(1+1/n)/2
,令x=1+1/n 则设f(x)=ln(x)+1/x-x/2>0即可。求导即证。
做个简单的小测验,-(1-1/n)/2 如何配凑成含(1+1/n)的代数式?(提示原式乘以-1*-1,加减常数项)
注意这里核心用到的是飘带函数(没有不要记忆,但可了解,做题寻找思路很有益处)
飘带函数长这样子 奥ln(x)≤(x-1/x)/2,高考计算题一定不要直接用,按部就班做。再证右边1/n≤ln(n/n-1)
,-1/n≥ln(1-1/n)----变形目的是构造ln基本函数自变量,使之可以运用基本函数的性质!(1-1/n)-1≥ln(1-1/n)。换元,令x=1-1/n, 设f(x)=x-1-ln(x)。
即证:f(x)≥0。求f’(x)即可证。注意这里x-1≥ln(x),是指对同构中不等式常用的。也因为有此目标,所以,才能向此转化,这也是学霸之所以是学霸的原因。
回过头来再总结一下,这道题难吗?不见得吧。
总结:遇到没出下口的题目,不要着急,慢慢分析、联想。这道题目是近年来数列部分考察函数思想的经典题目。将此题的价值榨干,就能以一抵百。出最少的力,获最高的分。
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