【高中数学精讲】空间直线与平面的位置关系（1）基本概念

【学习导引】本期课我们学习直线与平面的位置关系。
一、空间直线、平面平行的判定及其性质
直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.
两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
推论:如果一个平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

二、直线、平面垂直的判定及其性质
直线与平面相交，且与平面内所有直线都垂直，称直线垂直于平面,记作,直线称为平面的垂线，与平面的交点称为垂足.
直线和平面垂直判定定理:如果直线与平面内两条相交直线都垂直，那么直线与平面垂直.
证明:设直线,直线为平面上任意一条直线.
（1）当直线与直线都经过点时: 在直线上点的两侧分别取点使得,在平面上作一条直线，使它与分别交于点, 联结、、.

∵垂直平分,∴，
同理.
∵是公共边,∴.
∴
∴,即.
（2）若直线与直线不都经过点，则过引与直线的平行线,与直线,由（1）可知,由等角定理可知.
综上所述，.

直线和平面垂直性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
过空间一点有且仅有一条直线和一个平面垂直，反之过一点有且仅有一个平面与直线垂直，垂足称为点在平面上的射影，线段的大小称为点到平面的距离.
若一条直线与一个平面平行，则这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线到平面的距离.
若一条直线与一个平面相交且不垂直，称直线与平面斜交，直线为平面的斜线，交点称为斜足.
平面的斜线与其在平面上的射影所成的角称为直线与平面所成的角.
最小角定理:斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.

三垂线定理:在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
如图，直线为平面的斜线，为斜足，为在平面内的射影，为平面内一条直线，且.求证: .

证明:∵点为在平面内的射影,
∴平面.
∵平面，∴.
∵，且.
∴平面.
∵平面,
∴.

三垂线的逆定理:在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.

二面角：当两个平面相交时，它们的交线将各平面分割为两个半平面，由两个半平面、及其交线组成的空间图形叫做二面角，记作.交线称之为二面角的棱，两个半平面、叫做二面角的面.如果、上分别由点、，那么二面角也可以记作.

为了刻画二面角的大小，我们在棱上任取一点，在面、上分别作棱的垂线，则(称为二面角的平面角.
若，则称平面.

两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

下期课我们来讲解直线与平面位置关系的相关例题。