【学习导引】本期课我们学习向量的运算。
一、向量的数乘运算
1.向量数乘的定义
实数与向量的积是一个向量,记作,它的模与方向规定如下:
①.
②当时, 与的方向相同;当时,与的方向相反;当时,.
2.向量数乘的几何意义
向量数乘的几何意义如图所示:
二、平面向量的基本定理
如果给定平面上两个不平行的向量，那么该平面上任意一个向量是否都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合?
如图，设,是平面内两个不平行的向量，向量是该平面内的任意一个非零向量，我们研究与,之间的关系.
在平面内任取一点，作,,.过点作平行于直线的直线，与直线交于点;过点作平行于直线的直线，与直线交于点。由向量平行的充要条件可知，存在实数,使得,.由于,所以.
也就是说，平面内任一非零向量都可以表示为这两个不平行向量,的线性组合.
特别地，当时，可唯一地表示为.
再来考虑的表达式的唯一性.
假设,则有:
.
由于不平行，故， 即:.
平面向量的分解定理:如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数，使
我们把不平行的向量,叫做这一平面内所有向量的一组基.
三、向量的坐标表示及其运算
在平面直角坐标系内，方向分别与轴和轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为和.设是平面
上任一向量，如何用基本单位向量和来表示?
如图，将向量的起点置于坐标原点,作,我们将叫做位置向量.平面上任一向量都有与它相等的位置向量，所以研究向量的性质可以通过研究其相应的位置向量来实现.
如果点的坐标为，它在轴、轴上的投影分别为,那么由向量加法的平行四边形法则可知:,由向量与实数相乘的意义，可将和用基本单位向量表示:,于是
在上式中，向量能表示成两个相互垂直的向量分别乘以实数后组成的和式，该和式称为的线性组合.这种向量的表示方法叫做向量的正交分解.
平面上任一向量都有与它相等的位置向量,所以向量也都可以用基本单位向量表示:
它们的系数是与向量相等的位置向量的终点的坐标，通常我们用有序实数对表示向量,并称为向量的坐标，记做:
因为当我们将向量的起点置于坐标原点时，其终点的坐标是唯一的,所以向量的坐标也是唯一的.
有了向量的坐标表示后，向量的运算可转化为其坐标的相应运算.
设是一个实数,,,
因为,所以:
.
,
即,
,
由两点间距离公式，可求得向量的模
定比分点坐标公式：
已知是直线上一点，且（为任意实数，且）,的坐标分别为，,则点的坐标为：
,.
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