【高中数学精讲】空间几何体

【学习导引】本期课我们来学习空间几何体。

一、空间几何体的结构
1.棱柱的结构特征
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

从运动的观点来看，棱柱也可以看成是一个平面多边形从一个位置沿一条不与其共面的直线平移到另一位置时，其运动轨迹所形成的几何体.
底面（底）:两个互相平行的面;
侧面:其余各面;
侧棱:相邻侧面的公共边;
顶点:侧面与底面的公共顶点.

2.棱锥的结构特征
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.

底面（底）:多边形面;
侧面:有公共顶点的各个三角形面;
侧棱:相邻侧面的公共边;
顶点:各侧面的公共顶点.

3.棱台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.

上底面:原棱锥的截面;
下底面:原棱锥的底面;
侧面:其余各面;
侧棱:相邻侧面的公共边;
顶点:侧面与上(下）底面的公共顶点.

4.圆柱的结构特征
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.

轴:旋转轴叫作圆柱的轴;
底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作圆柱的底面;
侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面叫作圆柱的侧面;
母线:无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.

5.圆锥的结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.

轴:旋转轴叫作圆锥的轴;
底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作圆锥的底面;
侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面;
母线:无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线.

6.圆台的结构特征
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.

轴:旋转轴叫作圆台的轴;
底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作圆台的底面;
侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫作圆台的侧面;
母线:无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆台侧面的母线.

7.球的结构特征
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.

球心:半圆的圆心叫作球的球心;
半径:半圆的半径叫作球的半径;
直径:半圆的直径叫作球的直径.

二、空间几何体的表面积与体积
1.棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由若干个平面图形围成的几何体，因而可以沿着这些几何体的某些棱（侧棱或底面棱）将其剪开成平面图形，这个平面图形叫作几何体的平面展开图。其中沿侧棱剪开，将各侧面展开形成的平面图形叫作几何体的侧面展开图.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个平行四边形、三角形、梯形所组成.侧面展开图的面积称为几何体的侧面积.由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和. 棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有侧面和底面展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它的表面积.可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和,也可表示为:
,
,
。

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及表面积
圆柱的侧面展开图是一个矩形，如图所示:

如果圆柱的底面半径为,母线长为，那么圆柱的底面积为，侧面积为,因此，圆柱的表面积:

.

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示:

如果圆锥的底面半径为,母线长为，那么圆锥的底面积为,侧面积为,因此，圆锥的表面积:

.

展开图中扇形的圆心角

圆台的侧面展开图是一个扇环，如图所示:

如果圆台的上、下底面半径为,母线长为，那么圆台的上、下底面积为,,圆台的侧面积为,因此，圆台的表面积:

.

扇环的半径延长交于一点得一扇形，其圆心角

3.柱体、锥体、台体的体积
棱柱、棱锥、棱台的体积公式分别为:,
,
(其中分别为上、下底面面积，为高).

圆柱、圆锥、圆台的体积公式分别为:
,
,
(其中分别为上、下底面半径，为高).

4.球的表面积和体积
球的表面积:，其中为球的半径;
球的体积:，其中为球的半径.