初三数学上册：“一元二次方程”实际问题，三大常见题型专练

初三数学上册

【一元二次方程】实际问题

题型一：利润问题

【常用公式】

【例题】某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么衬衫平均每天多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

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【解析】假设每件衬衫应降价x元，现每件盈利为（40－x ）元，现每天销售衬衫为（20+2x）件，根据等量关系：每件衬衫的利润×销售衬衫数量=销售利润，可列出方程。

解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得

（40- x）（20+2x）=1200

解得X ₁=10，X ₂=20。

因尽快减少库存，故取x =20

答：每件应降价20元。

题型二：利息问题

【常用公式】（关注公众号：初三数学语文英语）

【例题】某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行。若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元。求这种存款方式的年利率（本题不计利息税）？

【解析】假设这种存款方式的年利率为x，2000元存一年后本息和为2000（1+ x ）元，支取1000元后，还剩[2000（1+ x）－1000]元。将所剩[2000（1+ x）－1000]元再存入银行一年，到期后本息共1320元。根据本息和=本金×（1+利率）等量关系可列出方程。

解：设这种存款方式的年利率为x。

根据题意得，[2000（1+ x）－1000]（1+ x）=1320

整理可得：2000x²+3000x－320=0

解得：x₁=－1.6（舍去），x₂=0.1=10%

答：这种存款方式的年利率为10%。

题型三：与几何图形的面积问题

①几何图形的面积问题（关注公众号：初三数学语文英语）

【等量关系】面积公式是此类问题的等量关系。

【例题】如图1-1所示，某小区规划在一个“长为40m，宽为26m”的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草。若使每一块草坪的面积都是144m²，则道路的宽是多少米？

【解析】（1）设路的宽为x m，那么道路所在的面积（40x+26x×2－2x²）m²。那么六块草坪的面积为[40×26－（40x +26x×2－2x²）]m²，根据题意，得

40×26－（40x +26x×2－2x²）=144×6

（2）将图1-1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移到图1-2的位置，若设宽为xm，则草坪的总面积为（40-2x）（26－x）m²。所列方程为（40-2x）（26－x）=144×6

解法1：设道路的宽为xm，则根据题意，得40×26－（40x +26x×2－2x²）=144×6

整理，得x²－46x +88=0

解得x₁=44（舍去），x ₂=2

解法2：设道路的宽为x m，则根据题意，得（40-2x）（26－x）=144×6

解得x₁=44（舍去），x ₂=2

答：道路的宽是2米。

②勾股定理问题

【解题思路】勾股定理（关注公众号：初三数学语文英语）

【例题】如图2- 1，两只蚂蚁从A点出发，分别沿正北、正东方向爬，甲的速度为每分钟6cm，乙的速度为每分钟8cm。几分钟后，两只蚂蚁相距20cm？

【解析】假设t分钟后相距20cm，那么甲所爬的距离为6tcm，乙所爬的距离为8tcm，甲乙所爬的距离正好是两个直角边，相距20cm正好是两直角边所对的斜边。此题可用勾股定理作等量关系列方程。

解：设t分钟后，相距20cm。由题意得：（6t）²+（8t）²=20²

整理，得100t²=400（关注公众号：初三数学语文英语）

解得t₁=2，t₂=－2（不合题意，舍去）

答：2分钟后，两只蚂蚁相距20cm。