【周末辅导题】△内心、隐形圆、圆周角/圆心角，最后一问有难度

【分析】

三角形内心，是三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心。

定边对定角，必有隐形圆。

【求解-（1）】

在Rt△OPE中，∠OPE+∠EPO+∠EOP=180°

所以∠EPO+∠EOP=90°

所以∠MOP+∠MPO=(∠EPO+∠EOP)/2=45°

在△MPO中，∠OMP+∠MPO+∠MOP=180°

所以 ∠OMP=180°-(∠MPO+∠MOP) = 135°

【求解-（2）】

如上图，连接CM，

在△CMO和△PMO中，

∠COM=∠POM（点M是△PEO的内心，是角平分线的交点）

CO=PO（都是圆O半径）

OM是公共边，

所以 △CMO ≌ △PMO

所以 ∠CMO=∠OMP=135°

【求解-（3）】

由（2）可知，∠CMO=135°，且OC=AO=4

根据定边对定角必有隐形圆，所以点M的轨迹是圆。

如上图，设点M的轨迹圆的圆心在点G处，当点P从点B运动到点C时，

其轨迹就是劣弧OC。求取此时点M的运动轨迹的长度，就转化为求取劣弧OC的长度。

优弧OC所对的圆周角=∠CMO=135°

所以优弧OC所对的圆心角是270°，$这一步至关重要$，

故劣弧OC所对的圆心角∠OGC=90°，

所以△OGC是等腰直角三角形

所以 OG=OC=2√2

所以劣弧OC的长度= 90° * 2π* OC/ 360° =π√2