必修3关键问题梳理 12.3 电池的电动势和内阻的测量

问题1：为什么要测量电池的电动势和内阻？

   答：如图所示，化学电池上一般都会明确标明电池电动势的大小。但由于化学电池的电动势受电池工作的温度等因素的影响，因此在实际使用的过程中，电池实际的电动势与标称值之间会存在一定的偏差。

      电源的电动势 E 和内阻 r 作为描述电源特性的两个重要参数，其大小决定了电源对外供电时的工作状态，因此在电源的设计、生产、使用和维护中，需要对它们进行测量。

问题2：能否使用电压表或者多用电表直接测量电池的电动势和内阻？

        答：在《12.2闭合电路的欧姆定律》一节课的学习中，我们得到如图甲所示的电路中，电源对电阻R 供电时，路端电压

U=E -Ir

   由此可知，当外电路电阻R >>r 时，路端电压U≈E。因此如图乙所示，将电压表或者多用电表直接并联在电源两端，若电压表和多用表电压档的内阻满足R_V>>r，则电压表和多用电表电压档的示数近似等于电源电动势E。

  但是将多用电表的欧姆挡直接并联在电源两端，来直接测量电源的内电阻这种方案是不可行的。这是因为在前面的学习中提到，使用多用电表的欧姆挡测量电阻时必须将待测电阻从电路中断开。但将多用电表的欧姆挡并联在电源两端后，如图所示，电路中出现了两个电源，因此这种情况下欧姆挡的读数并不是电源的内阻。

问题3：如何利用闭合电路欧姆定律，设计同时测量电源的电动势和内阻的方案？

  答：方案①：根据闭合电路欧姆定律可知 U = E- Ir。方程中有两个未知数，测得两组（U₁，I₁）、（U₂，I₂）后联立方程组即可计算出电源的电动势 E 和内电阻 r：

      根据以上分析可知，该方案需要的实验器材有：待测电源，开关、导线、滑动变阻器、电压表和电流表。实验电路如图所示有甲乙两种情况：

  方案②：根据闭合电路欧姆定律可知E=I(R+r)。方程中有两个未知数，测得两组（I₁，R₁）、（I₂，R₂）后联立方程组即可计算出电源的电动势 E 和内电阻 r：

     根据以上分析可知，该方案需要的实验器材有：待测电源，开关、导线、电阻箱和电流表。实验电路如图所示：

     方案③：根据闭合电路欧姆定律可知U = ER/（R+r），方程中有两个未知数，测得两组（U₁，R₁）、（U₂，R₂）后联立方程组即可计算出电源的电动势 E 和内电阻 r：

  根据以上分析可知，该方案需要的实验器材有：待测电源，开关、导线、电阻箱和电压表。实验电路如图所示

  以上三种实验方案都可以同时测量电源的电动势和内阻，但需要的实验器材不同，因此实际实验时应该根据实验条件选择相应的测量方案。

问题4：为什么实际实验过程中不是通过测量两组数据，而是通过作相应的图像，来实现电源的电动势和内阻的测量？

  答：测两组数据解方程组的方法，操作起来简单， 但由于测量时存在偶然误差，因此可能出现某组测量结果偏差较大的可能。利用偏差较大的测量结果进行运算会造成最后的计算结果误差也很大。

  而利用测得的多组数据后描点作图像的方法，可以将数据测量结果偏差较大的数据点非常清晰地筛选出来后排除，然后利用其他多组数据进行拟合后求出平均值，这样就可以把测量时偶然误差的影响降到较小。

问题5：如何在以上三种方案中，通过作图得到电源的电动势 E 和内阻 r ？

  答：方案①中，电压U 和电流I  的关系是线性关系，可以直接作图得到电源的电动势和内电阻。做出的图像如图所示，图中直线与纵轴的交点为电源的电动势E、图像的斜率的绝对值表示电源的内阻r：

  方案②中，电流I 与电阻R的关系是非线性关系，做出的图像如图甲所示，无法根据图像直接获得电源的电动势 E 和内阻 r。

   物理学中常常用转换坐标系的方法将非线性关系转化为线性关系（比如探究加速度a与质量m的关系时，将a—m的关系转化为a—1/m的关系），进而作出图像获取需要的信息。根据这个思想，我们可以做如下转换：

   因此若利用测得的数据在1/I—R坐标系中作图，作出的图像如图乙所示，图中直线的斜率 k = 1/E，直线与纵轴的交点坐标 b = r/E。

  方案③中，电压U 与电阻R 的关系也是非线性关系，做出的图像如图甲所示。

  利用转换坐标系的思想做如下转换：

    利用测得的数据在 1/U—1/R 坐标系中作图，如图乙所示：图中直线的斜率 k = r/E，直线与纵轴的交点坐标 b = 1/E。

问题6：考虑电表内阻的影响，如何通过数学表达式分析以上三种实验方案中测量电源的电动势 E 和内阻 r 时的实验误差？

       

  答：方案①中，根据电流表和电压表的位置关系有如图所示两种测量电路：甲图中，电流表相对于待测电阻（电源内阻）是外接的，乙图中电流表相对于待测电阻（电源内阻）是内接的。假设电压表内阻为 R_V，电流表内阻为R_A。

  _{图甲中，考虑电压表内阻 RV 的分流作用，电压表的示数 U 与电流表的示数 I 的准确关系应当表示为：}

       图乙中，考虑电流表内阻R_A的分压作用，电压表的示数U 与电流表的示数I 的准确关系应当表示为：

  方案②的实验电路如图甲所示，考虑电流表内阻R_A 的影响，电流表示数

   方案③的实验电路如图乙所示，考虑电压表内阻 R_V 的影响：

问题7：考虑电表内阻的影响，如何利用图像分析以上三种实验方案中测量电源的电动势E和内阻r时的实验误差？

  答：方案①中电流表外接法中：当电压表示数为0 时，电流表的示数I₀ 即为电路中流过电源干路的电流I 。当电压表示数不为0 时，相同电压下，流过电源干路的电流I 应当等于电流表数与流过电压表的电流之和。因此电压表的示数U 与电路中真实的干路电流I_真的关系应为图中的虚线所示，根据图像可知，E_测< E_真，r_测< r_真。

  方案①中电流表内接法中：当电流表示数为0 时，电压表的示数U₀ 即为电路中的路端电压U。当电流表示数不为0 时，相同电流下，电源的路端电压U 应当等于电压表数与电流表两端电压之和，因此电路中真实的路端电压U_真与电流表示数I 的关系应为图像中虚线所示，根据图像可知，E_测= E_真，r_测> r_真。

  _{方案②中考虑电流表内阻的影响，电路中外电路的总电阻R真= R +RA，因此在电流为I 时，电路中外电路的总电阻R真与电流的关系如图中虚线所示，根据图像可知，}E_测= E_真，r_测> r_真。

  _{方案③中考虑电压表内阻的影响，电路中外电路的总电阻R真=RRV/ （R +RV），因此在电压为U 时，电路中外电路的总电阻R真与电压的关系如图中虚线所示，根据图像可知，}E_测< E_真，r_测< r_真。

问题8：在使用电压表和电流表测量电源的电动势E和内阻r时，有如图所示两种测量电路，哪种测量电路误差更小

  答：经过上面的分析可知，由于电表内阻的影响，方案①中甲乙两种测量电路都存在系统误差。

  若待测电源的内阻较小，电流表的分压作用影响更大，因此图乙误差更大，图甲所示误差较小；若待测电源的内阻较大，电压表的分流作用影响更大，因此图甲误差较大，图乙误差较小。

   以上选择电流表内外接的依据与“伏安法测电阻”时的选择依据是一致的：此时的待测电阻是电源内阻，电流表的位置关系是“内”还是“外”都是相对于待测电阻即电源而言的。

问题9：在使用电压表和电流表测量电源的电动势E和内阻r（r较小）时，为什么作图时要调整纵轴的坐标起点？

答：测量电池的电动势和内阻的实验中，若某次数据如图所示。 

  在坐标轴起点均从0开始的坐标纸中作出的图像如图甲所示。根据图甲可以看出，由于测量的电源内电阻较小，因此在 U-I 坐标系中得到的图线的倾斜度很小，此时直线与I 坐标轴的交点将延伸很远，无法充分利用坐标纸读出相应数据后得到电源的内阻。

  通过调节坐标轴的起点，我们可以在坐标纸内根据测量数据调整图像范围。如图乙所示，以U=0.8 V 为纵轴起点，此时做出的图像在坐标纸中分布范围合适，显然较为容易获得图线与I坐标轴的交点从而计算得到电源的内阻。此时，图线中与U 坐标轴上的截距仍然表示电源电动势 E=1.34 V，图线的“斜率”的绝对值仍然表示电池的内电阻 r = 0.54/0.59 Ω = 0.91 Ω。