高考数学数列遇到“递推式分段”怎么处理

      有同学问数列遇到递推式分段怎么办？这是一个很好的问题。数列递推式分段的题型侧重考查理解能力、推理能力、论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。在解答题中出现一般难度不小。21年新高考I卷，普遍得分率还是较低的。这种题型一般要考虑归纳法。

第一种情况递推式存在嵌套关系【本题的原型是2005年北京】

例1：(21年高考数学I卷)已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+1（n为奇数），an+1=an+2（n为偶数）。

1）记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式

2）求{an}的前20项和

解析：给出的递推式是分段（函数）形式。我们观察一下，对于an+1，因n有奇偶性，适应不同的递推公式。这一点一眼就能发现，表示奇偶性时，我们通常使用2n，和2n-1【或2n+1（在题目没有限制时，优先使用，可避免讨论2n-1=0的情况）】。

题目的第一个小障碍是，an+1又依附于an，an又依附于an-1......。第二个小障碍是，对于a2n不少同学直接使用了an+1=an+2（n为偶数），这是错误的，应该使用an+1=an+1，为什么？。第三个小障碍，之前练习的求通项公式的方法似乎都失效了。怎么办？根据之前本公众号关于数列的文章，方法穷尽用归纳！

bn=a2n=a2n-1+1=（a2n-2+2）+1=[（a2n-3+1）+2]+1=......=a1+1......+2......。这里最最关键的是想明白1和2各有多少项，自己仔细想一想，需要一点推理能力。bn=3n-1=a2n。

对于第二问，a2n通项公式，有了还缺奇数项的通项吧，根据给出的递推式很容易得到，S20也就不难求出，S20=300

例2：（2005北京）设数列{an}的首项a1=a !=0.25，且an+1=0.5an（n为偶数），an+1=an+1/4(n为奇数) 记bn=a2n-1-1/4

1）求a2，a3

2）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明该结论。

3）求Sbn极限

解析：正如例1一样，解题关键是先弄清楚项数为奇数或偶数对应的递推关系是什么，再使用归纳法列出若干项，找关系，最后证明即可。

a2=a1+1/4=a+1/4，a3=a2/2=1/8，a4=a/2+3/8，a5=a/4+3/16 (注意a1用a来代替，a这里看做是一个参数，当然也可以不替换)

b1=a-1/4，b2=(a-0.25)/2，b3=(a-0.25)/4，到这里可以猜测{bn}是以1/2为等比的数列。

证以下：bn+1=a2n+1-1/4=an/2-1/4=(a2n-1-1/4)/2=bn/2,得证。

第三问就很简单了，自己算一下吧。

第二种情况分为严格两段，且段与段没有关联关系

这种题一般出现在选填题，比较简单，注意适用的段即可

数列{an}，an=1/n^2，(n≤10000)，an=n^2/[(n^2)+1]，（n>10000）,求an极限。

关键点就是，an的极限与n<10000时没有关系。

第三种情况“项”为奇偶数的分段递推式

例3：（2009湖北）数列{an}满足m（m为正整数），an+1=an/2（an为偶数），an+1=3an+1（an为奇数）。若a6=1，求m的取值。

解析：后一项依赖前一项的奇偶性，因此只能通过讨论数列的项是奇数还是偶数的方向出发，予以“穷尽枚举”讨论。通过递推式分别讨论a5~a1的可能，每一项分别另其为奇数和偶数，如果符合条件既保留，不符合条件则舍去。本题重点考察的就是推理逻辑能力。

第四种情况“对称数列”

概念：对称数列：一般地，如果一个数列从第一项和最后一项是同一个数，且关于对称数列中项对称，就把这样的数列叫对称数列。如：

1，2，3，4，……998,999,1000，999,998，……4,3,2,1

a⑴，a⑵，a⑶，a⑷，……a(n-1），a(n),a(n-1），……，a⑷，a⑶，a⑵，a⑴

解题关键：明白什么叫“对称数列”。“对称数列”它的前若干项与后若干项通项公式是不一样的，存在“对称”关系，而解此题的关键就在于理解并应用这种“对称”关系。可以看成等差数列公差为|d|，d的符号由项数决定。或者看成等比数列，公比为q*1/q，取q还是1/q由项数决定。

总结

       递推式的分段，基本上是这4种情况下的变形。注意：归纳法的灵活运用。