【发哥讲题】九年级二次函数存在性问题很有挑战性的一道综合题

【试题】

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，交y轴正半轴于C点，D为抛物线的顶点，A(-3,0),B(1,0).

(1)求出该抛物线的表达式。

(2)若点P在x轴上，且∠PCA=∠CAD,求点P的坐标。

(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点Q,使得以Q,C,A,O为顶点的四边形被其中一条对角线分成面积相等的两部分?如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

[分析]分类讨论一定要吧！关键在于深入挖掘几何要素建立模型，确定解题方案。

第一问：交点式送分！

第二问：角相等问题，一是通过位置分类讨论，挖掘相似或全等的要素可以解决问题，如果老师拓展过平行斜率相等，也是可以用一用的。

法一：利用斜率

法二：利用相似三角形中A型相似

左侧时法一：

左侧时法二：

第三问：挑战性极强。

   1. Q点在y轴左侧AC平分时。

2. Q点在y轴左侧OQ平分时。

3. Q点在y轴右侧时。发现AQ经过OC的中点要两下子功夫。发现不了就设 Q 点求直线AQ，找H点，用铅锤高法给面积ACQ，表示AOQ，求出参数。可以试一试。

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