先看一道题目,来自周民强《实变函数》习题:
若函数f在开区间(a,b)上可微,且仅在最多可数个点上导数不等于0,那么f是(a,b)上的常值函数。
证明:假设有x1∈(a,b),且f在x1处的导数不为零,不妨设为小于0;根据题设,我们还可以再取x2∈(a,b),使得f在x2处的导数为零。不妨设x1<>
那么根据达布介值定理,有如下性质
即,f的导数值可以取遍介于f'(x1)和f'(x2)之间的所有数,所以f的导数值不为零的点的数量与实轴等势,这与“最多可数个点上导数不等于0”相矛盾。
你还会证明达布介值定理吗?
达布介值定理:设y=f(x)在(A,B)区间中可导,且[a,b]包含于(A,B),f'(a)<><><>
证明:记函数F(x)= f(x)- ηx,则F'(a)= f'(a)- η<>
若F(a)= F(b),那么至少存在一点x∈(a,b),使得F在x处导数为零,即有f'(x)=η;
若F(a)
若F(a)>F(b),与上面相仿,可以利用F在b点的导数大于零。简述如下
换另一边就好了,就像睡觉翻个身嘛
你会证明罗尔中值定理吗?
罗尔中值定理:若函数f在[a,b]上连续,在(a,b)上可微,且f(a)=f(b),那么存在x∈(a,b),使得f在x处导数为0。
证明:根据连续函数最值定理,f在[a,b]上有最大值和最小值。由于f(a)=f(b)相同,所以
要么f在[a,b]上是常值,此时f的导数处处为零;
要么f的最大值和最小值,至少有一个与f(a)不相等。
不妨设其最大值大于f(a),在x0处取得。显然,a<><>
你会证明连续函数最值定理(介值定理)吗?
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