一、三角形的外接圆：
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形。
三角形与圆的关系图（1）
说明：①锐角△的外心在△的形内（如图①）；
②直角△的外心在斜边的中点（如图②）；
③钝角△的外心在△的形外（如图③）。
例题1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE.
(1)求∠ACB的度数；
(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．
例题1图（2）
解：
（1）求∠ACB的度数：
例题1解答过程（3）
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长。
例题1解答过程（4）
例题1解答过程（5）
二、三角形的内切圆：
与三角形三边都相切的圆可以作一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆。
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
例题2、如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为( A )
A．5 B．10 C．7.5 D．4
解：
设AF＝x，CF＝y，BE＝z，
则： x + y = 6 , y + z = 5 ， z + x = 9 ;
解得：x = 5, y = 1, z = 4 。
所以 AF = 5 。
例题2图（6）
例题3、．如图，在△ABC中，AB＝AC，内切圆⊙O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F，∠BAC＝120°，
BF＝2√3 ，则内切圆⊙O的半径为？
例题3图（7）
解：
例题3解答过程（8）
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