e是超越数的一个证明

所有实数分为代数数和超越数，代数数是指次数为某一有理系数多项式的根，反之超越数指它不是任意有理系数多项式的根。e和π的超越性一直困扰着数学家，直到1873年厄尔米特才首次证明了e的超越性，而到1882年德国数学家林德曼用了和厄尔米特差不多的方法证明了π的超越性。也顺带解决了古希腊的三大作图难题之一的化圆为方，π是超越数自然不能由尺规作图得到。下面简单介绍一个《数学的100个基本问题》提到的简单证明方法，它会用到一些基本的微积分知识。

证明方式主要用反证法，假设e不是超越数，那么它就是某个整系数多项式的根，如下式：

任意大于|a0|和n的素数p，构造一个多项式：

其次设数m=(p-1)+np。这样有f(x)的m+1阶导数为0，再令：

由求导公式我们可以得出：

因此由积分的基本公式我们可以得到：

移项后并变形后得到：

将上式中依次令b=0,1,2,3…,n，并把所得的n+1个等式分别乘以对应的an之后再相加得到如下等式：

将F(x)相关项单独放到左边得到：

下面我们需要证明上式中的左式对于任意素数p都是一个非0整数，而对于右式当p→∞时极限为0，这样就得出矛盾证明了e的超越性。

由f(x)的构造我们可以看出它的p阶以及p阶以上导数均为整系数多项式且各项系数都能够被p整除。而对于它的前p-1阶导数，在x=1,2,3,…,n处都等于0，所以F(1), F(2), F(3), …, F(n)都是p的整数倍。另外在x=0处，f(x)的前p-2阶导数均为0，而p-1阶导数如下：

上式不能被p整除，但是在x=0处，f(x)的p阶至m阶导数均为p的倍数。因此：

是一个不能被p整除的整数。又因为p>|a0|，所以p不整除a0，所以上面提到的左式：

除了第一项不能被p整除外，其余都是p的倍数，因此该式不可能为0。此外，当x在[0,n]上取值时，我们可以得到：

因此我们可以得到下面的不等式：

我们设C=|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|，并带入，则：

由于n为固定正整数，当p→∞时，有：

从而得到：

由此得到了矛盾，证明了e是一个超越数。