——以“探索勾股定理”一课为例
仝雅坤（山西省太原市成成中学）
薛红霞（山西省教育科学研究院）
摘要：遵循“塔式教学”理论，进行自主探究、合作学习、展示交流等教学环节.让学生在塔式教学中层层攀高，在不学生习环节中形成不同意义的合作，充分利用双平台环境促进高效教学.
关键词：塔式教学；自主探究；展示交流；双平台
现如今，新的教学理念已深入人心，要把课堂还给学生，让学生做自己学习的主人，学生的学习应该更开放、更自主，更适合自己的能力和需求. 而现代信息技术的飞速发展，无疑是给课堂锦上添花. 笔者所在学校实施基于网络和课堂双平台环境下的课堂教学研究（简称双平台）. 基于双平台的教学环境，能给学生提供更多方便、直观、高效的方式，让师生互通更加个性化. 笔者有幸参与了这个研究活动，收获颇丰. 下面以北师大版教材八年级上册“探索勾股定理”一课为例进行分析.
教材分析
教材提供了一些探索、验证勾股定理的方法，其中验证是第二课时的内容，考虑到探索和验证方法之间有着不可分割的联系，且探索过程中的疑惑急需在验证过程中解决，因此，将第二课时的“验证勾股定理”部分的内容也纳入本节课的范围之内，因而有意识地分析、思考各种探究、验证方法之间的联系成为本节课的难点.
教学目标
根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）中对于知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等方面的要求，将本节课的教学目标定为以下几点.
（1）通过多种形式的数学活动探索勾股定理，了解各种探究方法之间的联系，发展空间观念（如“割补”的方法体现了对简单形体空间位置的想象和变换，“探索勾股定理”所用到的图形，体现了对数学算式的几何意义的想象解释）.
（2）运用多种方法验证勾股定理，体会其中蕴涵的数学思想方法，发展学生的推理能力.
（3）经历观察、实验、猜想、验证等自主探究过程，提高自主学习的意识和能力，同时发展信息技术素养，能在合作交流中有所收获.
（4）能用准确的文字语言和几何语言表述勾股定理的内容.
教学设计
“塔式教学”理论首先是塔底的个人自主学习，继而是塔中的小组合作学习，最后是班级师生合作学习.所以根据这一理论将教学过程定为五个环节：情境导入、自主探究、合作学习、展示交流、达标检测.
以下重点分析自主探究、合作学习、展示交流三个环节.
1.自主探究
（1）为什么要安排自主探究？
过去教师讲、学生听的学习方式，学生的学习是被动的，而给学生提供时间、条件，让学生根据自己的情况选择方式、方法自主学习，学生就是自己学习的主人，自然也就有学习的主动性、积极性. 学生在自主学习过程中养成的习惯和形成的能力，才是今后学习、生活中所需要的，是有利于学生发展的.
（2）如何保障自主探究的进行？
要保证学生自主探究顺利进行，教师必须在之前做充分的准备，给学生提供充足、多样的学习资源、方式.考虑到学生的学习能力和对学习方式的喜好不同，以及探究环境的限制，可以给学生提供多种不同的探索发现的方式，如用教材、用实物、用电脑等，并在巡视过程中捕捉典型问题，适当提供引导帮助等.
结合笔者所在学校学生的实际情况，按照学生数学学习程度的不同，创造了“合作组”这个新生机制. 所谓合作组，即组内同质，组间异质.组内同质，则组内学习进度、程度相近，可以在相对集中的时间共同利用资源并产生合作交流.
（3）自主探究的具体流程是什么？.
首先提供如下的学习导航.
学习目标：
（1）通过多种形式的数学活动探索勾股定理，了解各种探究方法之间的联系.
（2）能用至少两种方法验证勾股定理，体会其中蕴涵的数学思想方法.
（3）能用准确的文字语言和几何语言表述勾股定理的内容.
任务探究：
任务1：探索直角三角形三边的数量关系.要求能用准确的语言描述自己的探索过程.
方式1：阅读教材第2页，完成“做一做”的问题.
温馨提示：“做一做”问题（1）中，先画直角边为3和4（或5和12）的直角三角形.
“做一做”问题（2）中，正方形C的面积可用割或补的方法求得.
方式2：借助动画演示或数学软件.
任务2：验证勾股定理.要求能用准确的语言描述自己的验证过程.
方式1：阅读教材第4，5页，完成第5页“做一做”.
方式2：用四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼一个边长为c的正方形，用所拼图形验证.
方式3：借助网页.
任务3：结合图形，用文字语言和几何语言表述勾股定理的内容.
温馨提示：分析定理的条件、结论，明确直角三角形的直角边、斜边.完成后可以打开链接比较.
自主建构：
在本节课的学习过程中，有哪些收获？用思维导图，或知识树，或图表的形式，完成学习报告.内容包括学生的自学收获，还没有解决的问题，计划给学生展示的问题等.展示过程中，要讲明用到的数学思想方法等.
根据学习导航，首先让学生明确学习目标，让自主学习有的放矢，并对学习步骤和时间安排做建议或要求.
任务安排方面，对于任务1“探索直角三角形三边关系”中，学生最直接的想法应该是画直角三角形、测量三边、计算三边的平方、发现它们之间的关系（即教材第2页中的“做一做（1）”）. 考虑到学生任意画的直角三角形，由于测量的误差，斜边可能为无理数（学生现在还不认识无理数，测量时一定取近似数）造成的误差，导致不能发现其本质关系，因此先引导学生画直角边为3，4或5，12的直角三角形，从而避免误差，并发现三边平方的数量关系，之后再由学生自己任意画几个直角三角形验证时，学生就可以接受近似相等的结果，并知道导致这种结果的原因是误差而非其他因素.
为减少学生对“做一做（1）”的疑虑，用问题“边的平方用图形怎样构造？”引导学生完成“做一做（2）”：在方格纸中探索以直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系，对刚才粗略的猜想进行几何直观的验证.
对于这种方式有些学生在计算边长为斜边c的正方形的面积时会有困难，因此教师可以给出一些提示. 即使如此，也还有学生不能用这种方式探索出结论，因此提供方式2，即借助动画演示或数学软件探索，通过这样最直观的方式快速、有效地得到与“做一做（2）”同样的结论.
通过以上方式探索得到勾股定理，并引发学生的思考：对于任意直角三角形，三边之间的这种关系是否一定成立？有没有其他的方式验证勾股定理？鉴于此，将教材整合，将第二课时的验证勾股定理部分的内容也纳入本节课的范围之内，作为任务2.
任务2中，同样设计了多种验证方式. 方式1是阅读教材，延续“做一做（2）”中对图形的处理方法进行验证，教材第5页的“做一做”以问题串的形式给出了引导；方式2根据探究条件选用纸片或三角尺或ppt图片进行拼图验证.在方式1的基础上，部分学生应该可以顺利拼出图形，并,表示边长为c的正方形的面积，且省去分别以直角边a，b为边长的正方形，图形显得更简洁，更体现勾股定理的本质；此外还可以发挥双平台的作用，利用网络资源，直接观看、欣赏、认同不同层次、不同数量、不同类型的验证方法.经历过观察、实验、猜想、验证的过程，学生对勾股定理的认识才比较完整.
认识之后就要应用，要应用就要能够用准确的几何语言表述，即任务3. 认识到数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值. 在这里学生可能存在的问题是，将文字语言转化为几何语言的过程中，似乎只需要以直角三角形作条件，三边关系作为结论，因此学生几乎没有意识要在条件中指明哪个角是直角.因此，给出规范表达的链接供学生比较，这时部分学生应该已经发现自己表达中的不足之处，从而思考原因，引起重视，但仍会有些反思能力不足的学生可能并没有对此产生关注，还需要在展示课中共同分析、强化.
(4)自主探究效果呈现的方式有哪些？
任务探究后，让学生对照目标进行自主建构，对自己的探究过程进行整理、反思，并为展示做一定准备.通过思维导图，或知识树，或图表的形式，完成个人学习报告.
2.合作学习
自我建构完成后，用五分钟时间在“合作组”交流，讨论总结出共性的问题，利用双平台环境，通过极域发送给教师，并对全体学生可见，这样其他组就可针对问题准备展示.展示环节开始前，恢复“展示组”后，先给学生五分钟时间对个人问题进行讨论，尽量解决，“合作组”的问题在展示环节解决.
3.展示交流
（1）展示交流的内容来源.
展示内容包括两个方面：一是教师在备课过程中预估学生在自主探究中不易涉及的部分所设计的问题（如勾股定理的几何语言表述）；二是在学生自主学习过程中，教师观察到的典型问题，通过批阅学生的自学反馈得到的一些问题，小组合作交流后提出的共性问题等.而在展示过程中，教师要以问题串的形式引导学生在自主学习基础上进一步深入思考，还要对学生的展示给予有效评价.
（2）展示的组织.
需要说明的是，此时座位将调整为“展示组”. 由于组内异质，则在组内可以解决一部分个人的问题.组间同质，在展示共同问题时可以在各组产生共鸣，同时小组之间形成竞争.
（3）展示的具体内容.
展示环节中，对于探索勾股定理的过程，不用一一重现，但要引导学生明确各种方式、方法的联系与区别，否则部分学生的探索过程可能是零散的，而不能成为相互促进、相互补充的，那样也就不能体现验证的必要性.而验证部分重要的是给学生思维方向的引导，让他们知道怎样利用已有经验寻求解决新问题的方法，并在验证确认其结论正确性之后，对其条件进行强化，形成严谨的认知，有利于后面应用勾股定理解决实际问题.
教学反思
1.让学生在塔式教学中层层攀高
“塔式教学”理论既有宽厚坚实的塔底基础，又有循序渐进的塔顶提升.让学生有充足的时间，广泛的方式，带着浓厚的兴趣和信心，积极地参与探索，在自主选择学习方式的过程中发展独立思考的学习品质；让学生通过小组范围内的第一层合作，与其他学生形成交流，发现同质学生的集中问题，解决异质学生的个性困惑，有效实现因材施教；让学生在全班范围内师生第二层合作展示中，对主要问题进行更加深入、细致地思考，并目标明确地进行展示、质疑，同时使学生在与其他学生合作和交流的过程中，较好地理解他人的思考方法和结论，针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识.
2. 在不学生习环节中形成不同意义的合作
自主学习后的第一次合作交流，采用同组同质的座位安排，组内学生学习水平相近，交流中的主要任务是集中本层学生的共性问题，这样的问题有代表性，基本为需要展示的重点；展示交流前的第二次合作交流，采用同组异质的座位安排，组内学生包含各个层次，交流的主要任务是解决一些简单的个性问题，不必占用全体学生的展示时间，在交流过程中每位学生还可能对探索内容有进一步丰富的认识和理解.两种不同形式意义的合作，为全班展示交流积蓄力量，才可能使展示更有实效.
3.充分利用双平台环境促进高效教学
本节课自主探究过程中，应用到ppt动画演示，几何画板学科软件，网页链接等信息技术手段，让一些学生通过这样最直观的方式，快速、有效地得到与其他探究方法同样的结论，给学生，特别是学困生提供通往结果的捷径，而不至于因为某个问题的困难停滞不前.而这些信息技术呈现的内容，是纸制教材或学习导航无法呈现的，同时也能激发其探究的兴趣和信心.在反思建构的过程中， 应用到思维导图软件，极域互联等方式进行总结、反馈，思路清晰、有条理，便于相互理解.而展示交流过程中，要通过白板演示分析问题的过程和方法，图形的变换等，便于观察、操作，其中一些特有功能（如批注、计时器等）也能起到良好的作用.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京:北京师范大学出版社，2012.
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