对于一个四边形给出如下定义:有一组对角相等且有一组邻边相等,则称这个四边形为奇特四边形.如图①中,∠B=∠D,AB=AD;如图②中,∠A=∠C,AB=AD则这样的四边形均为奇特四边形.
(1)在图①中,若AB=AD=4,∠A=60°,∠C=120°,请求出四边形ABCD的面积;
(2)在图②中,若AB=AD=4,∠A=∠C=45°,请直接写出四边形ABCD面积的最大值;
(3)如图③,在正方形ABCD中,E为AB边上一点,F是AD延长线上一点,且BE=DF,连接EF,取EF的中点G,连接CG并延长交AD于点H.若EB+BC=m,问四边形BCGE的面积是否为定值?如果是,请求出这个定值(用含m的代数式表示);如果不是,请说明理由.
考点分析:
四边形综合题.
题干分析:
(1)如图①中,设AC与BD交于点O.首先证明△ABD是等边三角形,AC⊥BD,根据S四边形ABCD=BD·OA/2+BD/2≈OC=BD·(OA+OC)/2,求出AO,OC即可解决问题;
(2)如图②中,作DH⊥AB于H.因为∠C′=∠C=45°,所以当C′B=C′D时,△BDC′的面积最大,此时四边形ABC′D的面积最大,易证四边形ABC′D是菱形,在Rt△AHD中,由∠A=45°,∠AHD=90°,AD=4,推出AH=HD,所以四边形ABC′D的面积=AB·DH;
(3)四边形BCGE的面积是定值如图③中,连接EC、CF,作FH⊥BC于H.由△BCE△DCF,推出CE=CF,由EG=GF,推出S△ECG=S△FCG,由四边形DCFH是矩形,推出BC=DC=HF,DF=BE=CH,推出BH=m,BE+FH=m,推出△FCH,△DCF,△BCE的面积相等,推出四边形BCGE的面积=梯形BEFH的面积/2,由此即可解决问题。
解题反思:
本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、菱形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,第三个问题的关键是证明四边形BCGE的面积=梯形BEFH的面积/2,所以中考压轴题。
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