了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;
会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);
会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).
1.函数的极值与导数
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地,当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)=0,
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0,右侧f′(x)≥0,那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x);
②求方程f′(x)=0的根;
③检查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右两侧的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)设函数f(x)在[a,b]上连续且在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
①求f(x)在(a,b)内的极值;
②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
(1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为:
①确定函数的定义域;②求导数f′(x);③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;④列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.
(2)由函数极值求参数的值或范围.
讨论极值点有无(个数)问题,转化为讨论f′(x)=0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围,特别注意:极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点,要检验极值点两侧导数是否异号.
(1)求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤:①求函数在(a,b)内的极值;②求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);③将函数f(x)的极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
(2)含参数的函数的最值一般不通过比值求解,而是先讨论函数的单调性,再根据单调性求出最值.含参函数在区间上的最值通常有两类:一是动极值点定区间,二是定极值点动区间,这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.
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