学会选择“最优”的解法来解一元二次方程

 

一、形如 （x + m）^2 = n ( n ≥ 0 ) 的方程可用“直接开平方法”：

例题1、用直接开平方法解方程 （x - 3）^2 = 8 , 得方程的根为 （）。

解： x - 3 = ± 2√2； x = 3 ± 2√2 。

二、 当二次项系数为 1 ，且一次项系数为偶数时，可用“配方法”：

例题2、方程 x^2 - 10x = 12 的解为？

解： （x - 5）^2 - 25 = 12 , x - 5 = ±√37 ； x = 5 ± √37 。

三、若方程移项后一边为 0 ，另一边能分解成两个一次因式的乘积，用“因式分解法”：

例题3、方程 x（x +19） = x + 19 的解为？

解： x（x +19） - ( x + 19) = 0 , （x - 1）(x + 19 ) = 0 ；x1 = 1 ,x2 = -19 。

四、用“公式法” 来解形如 ax^2 + bx + c = 0 （a ≠ 0）的一元二次方程：

套用通解公式 ： x = [-b ± √（b^2 - 4ac）]/ (2a)

例题4、方程 x^2 + 3x = 14 的解是？

解：a = 1 , b = 3 , c = -14 ; x = (-3 ±√65)/2

五、用“十字相乘法” 来解特殊的一元二次方程：

例题5、用十字相乘法来解方程 x^2 - 5x - 6 = 0 ;

解：原方程可变形为 （x - 6）( x + 1 ) = 0 , 解得： x1 = 6 , x2 = -1 。

六、用“换元法”来解特殊的一元二次方程：

例题6、若实数 a、b 满足 （4a + 4b）（4a + 4b - 2）- 8 = 0 , 则 a + b 的值是多少？

解：令 4a + 4b = t , 则原方程可化为 t ( t - 2 ) - 8 = 0 , 即 t^2 - 2t - 8 = 0 ,

这是一个关于 t 的一元二次方程， （t + 2）( t - 4 ) = 0 , t = -2 或 t = 4;

当 t = -2 时 ，即 4a + 4b = -2 ， 解得 a + b = -1/2 ；

当 t = 4 时 ，即 4a + 4b = 4 ，解得 a + b = 1 。

综上：所以 a + b = -1/2 或 a + b = 1 。

例题7、解方程： （x^2 + 5x + 1）（x^2 + 5x + 7） = 7 。

解：

图（1）