一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。
例题一、一个数减去100是一个平方数,减去63也是一个平方数,问这个数是多少?
解:设这书减去63为A²,减去100为B²
则A²- B²=(A+B)(A-B)=100-63=37×1,
可知A+B=37,且A-B=1,所以A=19,B=18
这样这个数为18²+100=424或19²+63=424
例题二、一个自然数减去45及加上44都是完全平方数,求此数。
解:设此自然是为X,依题意可得
X-45=M²
X+44=N²
N²-M²=89
(N+M)(N-M)=89=89×1
可知N+M=89,N-M=1,所以M=44,N=45
这样这个数为44²+45=1981或45²-44=1981
n是正整数,3n+1是完全平方数,证明:n+l是3个完全平方数之和.
解析: 此题可以由3n+1为完全平方数得到3n+1=m2,则m=3k+1或3k+2,再得到n的值,代入n+1经变形即可证为3个完全平方数之和.
一个正整数,如果加上100是一个平方数,如果加上168,则是另一个平方数,求这个正整数.
解析:所求正整数为x,引入参数m和n分别表示这两个完全平方数,然后利用奇偶性分析求解.
自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方,则n=?
解析:设n﹣59=a2,n+30=b2,则存在a2﹣b2=﹣89=﹣1×89,根据奇偶性相同即可求得a、b的值,即可求得n的值.
已知x+y=4,且x-y=10,则2xy=?
解析: 把原题中两个式子平方后相减,即可求出xy的值.
已知4x2+4mx+36是完全平方式,则m的值为?
解析:这里首末两项是2x和6这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去2x和6积的2倍.
已知x+y=-5,xy=6,则x²+y²的值是?
解析:先把所求式子变形为完全平方式,再把题中已知条件代入即可解答.
小明计算一个二项式的平方时,得到正确结果a²-10ab+■,但最后一项不慎被污染了,这一项应是?
解析:根据乘积二倍项找出另一个数,再根据完全平方公式即可确定
已知a+b=3,a³+b³=9,则ab等于?
解析:根据条件a+b=3,两边平方可求得a²+b²=9﹣2ab,再把条件a³+b³=9展成(a+b)和ab的形式,整体代入即可求得ab的值.
如果多项式p=a²+2b²+2a+4b+2008,则p的最小值是?
解析:把p重新拆分组合,凑成完全平方式的形式,然后判断其最小值.
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