【分析方法导引】
当几何问题中,出现了角平分线和向角平分线所作的垂线的时候,就要想到可应用等腰三角形中重要线段的基本图形进行证明。
若角平分线的垂线没有过角的顶点时,可直接将角平分线的垂线延长到与角的两边相交,构成等腰三角形中重要线段的基本图形,然后再应用一次轴对称型全等三角形来完成分析。
若角平分线的垂线经过角的顶点时,则应将角平分线的垂线平行移动,使它离开角的顶点,然后再与角的两边相交构成等腰三角形中的重要线段的基本图形。
例16 如图3-175,已知:△ABC内接于⊙O,角平分线AD的延长线交⊙O于E,BF⊥AE,垂足是F。求证:AB^2-2BF^2=AB·AC—2AF·EF。
图3-175
分析:本题的条件中出现了BF是向角平分线AD作的垂线,所以必定会构成一个等腰三角形的基本图形。由于这个等腰三角形是由角平分线的垂线和角的两边相交得到的,所以延长BF交AC的延长线于G,并设BG交⊙O于H(如图3-176),即可得△ABF≌△AGF,AG=AB,BF=GF。
图3-176
本题要证明的结论由于等式两边都出现了AB,所以可先移项和提取因式转化为AB(AB-AC)=2BF^2-2AF·EF。而AB(AB-AC)=AG(AG-AC)=AG·CG。所以问题成为要证AG·CG=2BF^2-2AF·EF。对这一线段之间的比例关系式,我们首先也进行描图,以搞清楚比例关系之间的位置关系。经过描图,可以发现AG和CG这一组相乘线段重叠在一直线上,从而可应用逆平行线型相似三角形进行证明,由于现在出现的是由圆外一点G所作的圆的两条割线,所以可直接应用割线定理得AG·CG=BG·HG,而BG=2BF,HG=GF-HF,所以AG·CG=2BF(GF-HF)=2BF(BF-HF)=2BF^2-2BF·HF。将这个关系式与要证的结论相比较,即可得问题转化为要证AF·EF=BF·HF,但BH和AE是⊙O相交于F点的两条弦,所以直接应用相交弦定理就可证上述性质。
例17 如图3-177,已知:过⊙O外的一点P作⊙O的两条割线PAB、PCD,且分别与⊙O相交于A、B、C、D。PM是∠BPD的角平分线,AE⊥PM且分别交PD、⊙O于F、E,OG⊥PM垂足是G。求证:EF=2OG。
图3-177
分析:本题条件中出现AE是向角平分线PM所作的垂线,所以必定构成一个等腰三角形的基本图形。由AE与角的两边相交于A、F(如图3-178),就可得△APH≌△FPH,PA=PF,AH=FH。
图3-178
由条件∠MHE=90°,而∠MHE是⊙O的一个圆内角,而圆内角的问题可以转化为圆周角的基本图形来进行讨论,转化的方法可以是过圆周角上的点作平行线。
若过A作PM的平行线交⊙O于K,则∠KAE=90°,这样就出现了90°的圆周角,从而就可以应用90°的圆周角的基本图形的性质进行证明,也就是∠KAE所对的弧是半圆,所对的弦是直径,而现在图形中是有圆周角而没有直径,所以应将直径添上,也就是联结EK后(如图3-179),必定有EK经过O点。
图3-179
由条件OG⊥PM和EA⊥PM,可得OG∥EA,且我们已经证明OE=OK,而要证得结论EF=2OG是线段之间的倍半关系,所以可应用三角形中位线的基本图形的性质进行证明。在△KAE中,过一边EK的中点O所作的另一边EA的平行线尚未和第三边AK相交,所以首先应将它们延长到相交,也就是延长OG交AK于N(如图3-180),即可得N是AK的中点,AE=2NO。
图3-180
而我们要证的是EF=2OG,于是上述性质可化为AF+EF=2(NG+OG)=2NG+2OG。将两式加以比较可知问题成为应证AF=2NG,而我们已证AF=2AH,所以问题进一步转化为应证AH=NG,由∠GNA=∠HGN=∠NAH=90°,四边形AHGN是矩形,当然就可以证明上述性质。
若过PM与⊙O的交点L作AE的平行线交⊙O于K,则∠MLK=90°,从而又进一步可得∠MLK所对的弦是直径,也就是联结KN后,必定有KN经过O点(如图3-181)。再由条件OG⊥PM,从而就可直接应用垂径定理,也就是设PM交⊙O于L、N,就有GL=GN,这样就出现了两个中点,是多个中点问题,就可以应用三角形中位线的基本图形的性质进行证明,于是就可得LK=2OG,而要证明的是EF=2OG,从而就是应证LK=FE,而我们已作LK∥FE,所以四边形LKEF就应是平行四边形,但这个四边形目前尚不完整,所以应先将它的一组对边添上,也就是联结LF、KF(如图3-181)。由于在这个四边形中LK=FE是要证明的结论,不能用,所以要证明这个四边形是平行四边形就只能转而证明LF和KE也平行。
图3-181
由条件LK和AE是⊙O中的两条平行弦,应用平行弦的性质可得联结LA后有LA=KE,四边形LKEA是等腰梯形,所以∠E=∠LAF。又因为已证明PM是AF的垂直平分线,所以又可得∠LAF=∠LFA,那就可以证明∠LFA=∠E,LF∥KE,也就可以完成分析。
本题要证的结论EF=2OG是两条线段之间的倍半关系,所以可根据线段倍半关系的定义,作出OG的两倍,也就是延长OG到K,使KG=OG(如图3-182),那么问题就要证EF=OK。
图3-182
由条件EF⊥PM,OK⊥PM,所以FE∥OK,这样就可以出现了EF和OK这两条线段不但相等,而且平行,所以它们可构成一个平行四边形,但这一个平行四边形目前还缺少一组对边,所以应先将这一组对边添上,也就是联结FK、EO(如图3-183),问题也就成为要证四边形FEOK是平行四边形。又因为EF和OK这一组对边相等是要证的结论,不能用,所以问题只能是证明另一组对边FK和EO也平行。由于FK和EO可以看作是被AE所截,所以问题就可转化为证∠E=∠AFK。
图3-183
由条件MP平分∠BOD和AF⊥PM,可得△PAH≌△PFH,AH=FH,PM就是AF的垂直平分线,于是设FK与PM相交于N,可得N在AF的垂直平分线上,所以又可以添加等腰三角形中重要线段的基本图形进行证明,添加的方法是将等腰三角形的腰添上,也就是联结NA(如图3-183),可得NA=NF,∠NAF=∠NFA,这样问题又转化为应证∠E=∠NAF。
又因为由条件PM⊥OK和所作的OG=KG,可得PM也是OK的垂直平分线,而N是PM上一点,所以可再一次添加等腰三角形中重要线段的基本图形进行证明,于是再联结NO(如图3-183)可得NO=NK,∠K=∠NOK,又因为已知AE∥KO,这一组平行线可以看作是被FK所截,所以∠AFK=∠K。这样就可得到在等腰△NAF和等腰△NOK中,它们的底角是相等的,所以它们的顶角也相等,即∠ANF=∠ONK,但已知F、N、K在一直线上,所以A、N、O也在一直线上,这样OA就是⊙O的半径,OA=OE,那就可证∠E=∠OAE,分析完成。
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