高考中,函数的零点问题往往是由基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等)组合而成,题目常常以选择题或填空题形式出现,考查数形结合的思想,有些题目难度非常大。
函数的零点问题常常可以分成三类问题:一是判断函数零点所在的区间,由零点存在定理完成;二是判断函数零点的个数;三是已知函数零点的个数,求参数的取值范围。
已知函数的零点,求参数的取值范围常用的方法有以下几种:
(1)直接法:直接解方程,求得根,或者通过解不等式确定参数的取值范围。
(2)分离参数法:先将参数进行分离,转化为求函数的值域问题加以解决。
(3)数形结合法:先对解析式进行改写,在同一坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求得参数的取值范围。
本题考查函数的零点(方程的根),涉及函数的图象、函数的性质、函数的零点等知识点,考查数形结合的思想和分类讨论的思想,属于难题。
本题首先根据自变量的取值范围,分离参数,转化为函数的值域问题;然后分离常数得到两个对勾函数,将问题转化为对勾函数与直线的交点问题;最后作出函数的图象,通过数形结合求得参数的取值范围。
值得说明的是,对勾函数是高考中的热点,因此,对于对勾函数的图象和性质务必十分熟悉。当然本题不采用分离常数得到对勾函数,而借助导数求解也是可以的。
以分段函数为载体,利用零点个数考查参数的取值范围问题,是高考中的高频试题。这类试题往往需要缜密的思维,严谨的逻辑,和强大的计算,但其基本思路相差无几,几乎都是利用数形结合的思想转化。不信,你看2016年天津高考理科数学的第8题,是不是倍感亲切。
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