高中数学“立体几何”中的计算与证明题

例题１、如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC ⊥平面ABC，∠B = π/2 ，点 D、E 在线段AC上，且 AD=DE=EC=2，PD=PC=4，

点 F 在线段 AB 上，且 EF//BC。

① 证明：AB ⊥ 平面PFE；

② 若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段 BC 的长 。

例题1图（1）

证明：

（1）如图，由 DE = EC , PD = PC 知 E 为等腰 △PDC 中 DC 边上的中点 ，故 PE⊥AC

∵ 平面 PAC ⊥平面 ABC ，平面 PAC ∩ 平面 ABC = AC ，PE⊥AC

∴ PE⊥平面 ABC 从而 PE⊥AB

又 ∵ EF//BC ， ∠B = π/2

∴ ∠AFE = π/2 ， 从而 AB⊥FE

∴ AB ⊥ 平面 PFE

（2）解：设 BC = x ，在直角 △ABC 中

例题1图（2）

由 EF∥CB ，知 AF：AB = AE：AC = 2/3 ，S△AFE ：S△ABC = （2/3）^ = 4/9 。

即 S△AFE = 4/9 · S△ABC

由 AD = 1/2 ·AE ，S△ADF = 1/2 ·S△AFE = 1/2 ·4/9 · S△ABC = 1/9 · x · √（36-x^2）

从而四边形 DFBC 的面积为

例题1图（3）

由 （1）知 PE⊥平面 ABC ，所以 PE 为四棱锥P-DFBC 的高

在 Rt △PEC 中

例题1图（4）

四棱锥P-DFBC的体积

例题1图（5）

故得

例题1图（6）

因为 x > 0 , 所以 x = 3 或 x = 3√3 ,

所以 BC = 3 或 BC = 3√3 。

注：本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系的判定及简单几何体的体积的计算；

第一问通过应用面面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直来完成证明；

第二通过设元，将已知几何体的体积表示出来，建立方程，通过解方程完成解答。

本题属于中档题，要注意方程思想在解题过程中的应用。

例题2、如图，在平行四边形 ABCM 中，AB = AC = 3 , ∠ACM = 90° ，以 AC 为折痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置 ，

且 AB⊥DA 。

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC ；

（2）Q 为线段 AD 上一点 ， P 为线段 BC 上一点 ，且 BP = DQ = 2/3 DA ， 求三棱锥 Q-ABP 的体积 。

例题2图（1）

解：

（1）由已知可得，∠BAC =90°，BA⊥AC

又 BA⊥AD，所以 AB⊥平面ACD

又 AB 真包含于 平面ABC，

所以平面ACD⊥平面ABC。

（2）

例题2图（2）

由已知可得，DC=CM=AB=3，DA= 3√2 ．

例题2图（3）

由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．

因此，三棱锥 Q-ABP 的体积为

例题2图（4）