一、作平行线证明直线之间的位置关系
例题1、如图，已知 ∠B + ∠BCD + ∠D = 360° ，求证：AB∥DE 。
例题1图
证明：过点 C 作 CF∥AB
∵ CF∥AB ， ∴ ∠B + ∠BCF = 180° 。
又 ∵ ∠B + ∠BCD + ∠D = 360° ， ∴ ∠DCF + ∠D = 180° 。
∴ CF∥DE ，
∴ AB∥DE 。
二、作平行线探究角度之间的关系
例题2、如图，已知直线 L1 ∥ L2 ，直线 L3 和直线 L1、L2 交于点 C 和点 D ，在 C 、D 之间有一动点 P 。
① 若点 P 在 C 、 D 之间运动时，问 ∠PAC、∠APB、∠PBD 三者之间存在什么样的关系，请说明理由 ；
② 若点 P 在 C 、 D 两点的外侧运动时 （点 P 与点 C 、D 不重合），试探究 ∠PAC、∠APB、∠PBD 三者之间的关系 。
例题2图
解：
（1）若 点 P 在 C 、 D 之间运动时，则有 ∠APB = ∠PAC + ∠PBD 。
理由：过点 P 作 PE∥L1 ，则 ∠APE = ∠PAC ，
又 ∵ L1 ∥ L2 ，∴ PE∥L2 ，
∴ ∠BPE = ∠PBD ，
∴ ∠APE + ∠BPE = ∠PAC + ∠PBD ，
∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD 。
（2） 若点 P 在 C 、 D 两点的外侧运动时 （点 P 与点 C 、D 不重合），则有两种情形：
① 如下图所示，
①图
结论：∠APB = ∠PAC - ∠PBD 。
理由：过点 P 作 PE∥L1 ，则 ∠APE = ∠PAC ，
又 ∵ L1∥L2 ，∴ PE∥L2 ，
∴ ∠BPE = ∠PBD ，
∵ ∠APE = ∠BPE + ∠APB ，
∴ ∠APB = ∠APE - ∠BPE ，
∴ ∠APB = ∠PAC - ∠PBD 。
② 如下图所示：
②图
结论：∠APB = ∠PBD - ∠PAC 。
理由：过点 P 作 PE∥L2 ，则 ∠BPE = ∠PBD 。
∵ L1∥L2 ， ∴ PE∥L1 ，
∴ ∠APE = ∠PAC ，
又∵ ∠APB = ∠BPE - ∠APE ，
∴ ∠APB = ∠PBD - ∠PAC 。
三、作平行线探究多边形角度之间的关系
例题3、如图，已知 AB ∥CD ，设 a = ∠A + ∠1 + ∠C，β = ∠B + ∠D ，则 a 与 β 之间有怎样的数量关系？试说明理由。
例题3图
解：a = 2β 。
理由：过点 E 作 EF∥AB ，交 BD 于点 F
∵ AB ∥CD ，∴ EF∥CD ，
∴ ∠A + ∠AEF = 180° ，∠C + ∠CEF = 180° ，∠B + ∠D = 180° ，
∴ a = ∠A + ∠AEF + ∠C + ∠CEF = 360° ， β = 180° ，
∴ a = 2β 。
四、作平行线解决实际问题
例题4、如图，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，如果第一次拐的 ∠A 是 120° ，第二次拐的 ∠B 是 150° ，第三次拐的是 ∠C ，这时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，请问 ∠C 是多少度？请说明理由 。
例题4图
解：如图，过点 B 作 BF∥AE ，
例题4答图
∴ ∠A = ∠ABF = 120° （两直线平行，内错角相等），
∴ ∠FBC = 30° ，
∵ AE∥CD ， ∴ BF∥CD ，
∴ ∠C = 180° - ∠FBC = 150° （两直线平行，同旁内角互补）
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