中考数学压轴题解析3：切线的判定、垂径定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定和性质等知识点大综合

题目呈现

分析解答

解：（1）思路：根据切线的定义，证明∠FCO=90°。

证明：∵在∆BCO中，OB=OC，

∴∠B=∠OCB.

在Rt∆BCE中，∠2+∠B=90°。

又∵∠1=∠2，

∴∠1+∠OCB=90°，即∠FCO=90°.

∴CF是⊙O的切线。

（2）思路：利用两组对应角分别相等证明三角形相似。利用∠1转化。

证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°.

∴∠ACM=90°--∠OCB=∠1.

而∠1=∠2，∴∠ACM=∠2。

在⊙O中，∠CAM=∠D,

∴∆ACM∽∆DCN。

（3）思路：本题直角三角形较多，已知半径长和cos∠BOC，为利用勾股定理和解直角三角形求相关边长创造了条件。BN之长不易直接求出，可先求CB及CN。（2）的结论搭起了主要框架，当然要用上。

由已知得AO=CO=BO=4.

在Rt∆COE中，OE=CO·cos∠BOC=4×1/4=1.则BE=4－1=3，AE=4+1=5。

由勾股定理可得：CE=√4²－1²=√15，

BC=√（√15）²﹢3²=2√6，

AC=√（√15）²﹢5²=2√10.

∵直径AB⊥CD,

∴CD=2CE=2√15.另CM=1/2CO=1/2×4=2.

由（2）题结论可得：CN/CM=CD/CA,

CN=2×2√15/2√10=√6.

∴BN=BC－CN=2√6－√6=√6.

反思总结

1.本题主要考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定和性质等知识点。

2.前两问比较简单。（2）的结论为（3）所用，并构成解题的主要思路框架，其他条件的寻找都围绕这个核心进行。这说明平常训练要着眼于整体，努力寻求各条件之间的联系与转化。

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