高中数学课程：函数必修知识点函数图像的轴对称和中心对称

在高中函数阶段的学习中，对于某函数图象的轴对称或函数图像关于某点的对称问题，是必须掌握的重点知识。也是高考当中常见的题型。

同学们在解决此类问题时往往理不清头绪，摸不清思路。在轴对称或中心对称问题中模棱两可，含糊不清。现就这一类知识点作出解析，让同学从此不再为此类问题烦恼丢分。

1.轴对称

若函数f(x)图象关于直线x=a对称，则有函数f(x)必须满足f(x)=f(2a—x)。

证明:假设点A(x，y)在函数f(x)图象上，那么点A关于x=a对称点B(2a—x，y)也应该在函数f(x)图象上。由A点B点两点同在函数f(x)图象上，则有:

f(x)=y ， f(2a—x)=y

故函数f(x)图象关于直线x=a对称则必须满足

f(x)=f(2a—x)。

2.中心对称

若函数f(x)图象关于点(a，b)对称，则函数f(x)必须满足f(x)+f(2a—x)=2b。

证明:假设点A(x，y)在函数f(x)图象上，那么A点关于点(x，y)对称点B(2a-x，2b-y)也应该在函数f(x)的图象上。由A点B点同在函数f(x)上，则有:

y=f(x) ，2b—y=f(2a—x)

故由上式整理后可得f(x)+f(2a—x)=2b。

题目练习:

1.f(x+2)—f(2—x)=0

2.f(2+x)=f(1—x)

3.f(—x)=f(x—4)

4.f(2x+2)=f(2—2x)

5.f(—x)=—f(x—4)

6.f(4—x)+f(6+x)=10.

---