【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第448题

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．

（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．

证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，

∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD/2．

∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，

∴AE∥CD，AE=CD/2．

∴FG=AE，FG∥AE，

∴四边形AEGF是平行四边形，

∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，

∴AF∥平面PCE；

（Ⅱ）∵PA=AD．

∴AF⊥PD

PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥CD，

又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，

∴CD⊥面APD

∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，

∴AF⊥面PDC

由（Ⅰ）得EG∥AF，

∴EG⊥面PDC

又EG⊂平面PCE，

∴平面PEC⊥平面PCD．

考点分析：

平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

题干分析;

（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．