方法科普
分析法,是指从要求解的问题出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到归结为显然成立的条件(已知量、定义、公理、定理、性质、法则等)为止,从而证明结论的正确性、合理性的一种论证方法。别名因果分析法、逆推法、执果索因法。
分析法,体现的数学思想是由果索因;运用思路是由未知探需知,逐步推向已知;适用范围是不易直接证明的问题。
下面这道中考题三个小题的解答,可以让同学们感受和学习 分析法的具体运用。
题目呈现
分析解答
第1小题:如图1.注意已知条件:四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF。用分析法从结论入手逆推。AD/DE=CG/CD→△ADE∽△GCD→两组内角对应相等:∠A=∠DGC=90°,∠ADE=90°--∠GDC=∠GCD。可证。反序写出过程即可。
第2小题:如图2.讨论对象由第1小题的矩形扩大为平行四边形,且不再有DE⊥CF的条件。第1小题中,直角三角形相似的共有:Rt△AED∽Rt△DFG∽Rt△FDC∽Rt△CGD。现在DE与CF不再垂直,那么相似的三角形组就减少了。但是仍然可以受此启发,寻求相似三角形组,反观对应角的关系。依然执果索因来逆推。显然△AED与△FDC不再相似,说明要证的比例线段只能靠第三方搭桥,即中间比转化。
AD/GD=DE/DF→△AED∽△GFD→∠GDF=∠ADE(已知的公共角),∠FGD(与∠EGC相关,且相等)=∠EAD。
GD/DF=CD/CF→△CGD∽△CDF→∠GCD=∠DCF(已知的公共角),∠CGD(与∠EGC相关,且与之互补)=∠CDF。
而AD/GD=DE/DF即GD/DF=AD/DE,所以CD/CF=AD/DE,即题中结论DE/CF=AD/CD可以成立。而前提条件是:∠FGD=∠EAD,∠CGD=∠CDF。又因为∠FGD+∠CGD=180°,∠FGD=∠EGC,∠CDF=∠B,所以∠B+∠EGC=180°。也就是当这两个角满足互补关系时,DE/CF=AD/CD才成立。反序写出过程即可。
第3小题: 如图4. DE/CF→相似三角形组→∠1=∠2,直角一组→∠2+∠3=180°,过点C作CQ⊥AD于Q→∠A+∠EGF=180°(已知),∠A=∠FQC=Rt∠(已知及构造作图)。这个思路可行。为此,需求CQ(对应边AD=12已知)。
过点C作CP垂直于AB的延长线于P,则得矩形APCQ.于是AP=CQ,∠PCQ=90°。连接BD,则△ABD≌△CBD(SSS),∠BCD=90°。所以∠4=∠5=90°--∠BCQ。Rt△CPB∽Rt△CQD,得CP/CQ=CB/CD=9/12, CP=3/4CQ。PB=CQ--9。在Rt△PCB中,CP²+PB²=BC²,可得CQ=288/25.
最后,Rt△AED∽Rt△QFC, DE/CF=AD/CQ=12/(288/25)=25/24.
反思总结
分析法帮助寻求解题突破口,又常和综合法(由因到果)结合使用。这个特点在本题解答过程中体现十分鲜明。三角形相似的判定多次用到。三个小题的设置很有梯度,思维得到了很好的锻炼。
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