今天的这道例题相对之前的全等例题稍微有些难度,本题的关键就体现在了辅助线的添加,要如何根据求证结果去添加正确的辅助线。基本图形分析法给出此题的两种辅助线添加方法,来满足求证结果在直角三角形中,并根据轴对称型全等三角形性质得到对应的等价条件,完成整个分析过程。来看看你是不是也想到了这两种方法吧~
例18 如图5-48,已知:△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D、E是AB上的两点 ,∠DCE=45°,求证:DE²=AD²+BE²。
图5-48
分析 (1) :本题条件中出现了∠DCE=45°,且∠ACB=90°,所以∠DCA+∠ECB=90°-45°=45°,这是一个两个角之和的问题,所以可根据两角和的定义,将∠DCA和∠ECB这两个角拼起来,也就是以C为顶点,以CA为一边,在△ABC的外面,作∠ACF=∠ECB,这样就可得∠DCF=45°,∠DCF=∠DCE。而这两个角相等的关系一出现,就出现了这两个相等的角是关于CD成轴对称的,从而就可以添加轴对称型全等三角形进行证明,于是在所作的∠DCF的边CF上,截取CF=CE,并联结DF(如图5-49),就可由CF=CE,∠DCF=∠DCE=45°和DC=DC,证得△DCF≌△DCE,DE=DF。
图5-49
由我们所作的CF=CE和∠ECF=45°+45°=90°,可知CF、CE可组成一个等腰直角三角形,而已知△ABC也是等腰直角三角形,且这两个等腰直角三角形有公共的直角顶点C,所以必定出现一对旋转型全等三角形。找这对全等三角形的方法是将由公共顶点C发出的四条线段,即CF、CA、CE、CB两两组成全等三角形,于是联结AF(如图5-50),那么在△ACF和△BCE中,由AC=BC,∠ACF=∠BCE和CF=CE,就可得△ACF≌△BCE,那么AF=BE,∠CAF=∠CBE=45°,进一步就可得∠FAB=45°+45°=90°,而在Rt△FDA中,应用勾股定理就有DF²=AD²+AF²,而DF=DE,AF=BE,所以分析可以完成。
图5-50
分析 (2) :本题条件中出现了∠DCE=45°,∠ACB=90°,所以就有∠DCA+∠ECB=45°=∠DCE,那么根据角的和的定义,就可以在∠DCE内作∠DCF=∠DCA,然后可得∠ECF=∠ECB。
在作出了∠DCF=∠DCA后,就出现了这两个相等的角是关于DC成轴对称的(如图5-51),从而就可添加轴对称型全等三角形进行证明。
图5-51
由于图形中已经出现了对称轴CD,所以添加的方法就是将△ACD沿对称轴翻折过去,这时因∠DCA=∠DCF,所以CA就会沿CF落下,于是就可以在射线CF上截取CF=CA,联结DF后(如图5-52),就可得△ACD≌△FCD,∠F=∠A=45°和DF=DA。根据同样的道理,在联结EF后(如图5-53),由CF=CA=CB,∠FCE=∠BCE和CE=CE,又可证明△FCE和△BCE也是一对轴对称型全等三角形,所以FE=BE,∠EFC=∠B=45°,进一步就可得∠DFE=45°+45°=90°,这样在直角△DEF中,就可应用勾股定理得DE²=DF²+EF²,从而也可完成分析。
图5-52
图5-53
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