关于分解因数问题的奥数题

今天的目标是解如下奥数题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

某数n=1*2*3……*1997，请问n分解成素数相乘的形式的时候，中间有多少个2？

该题目属于分解因数问题，本质是数列乘积的问题，方法是寻找规律，对数列进行分类，然后求和。

解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

在1、2、3……、1997这些自然数中，有多少个数分解成素数相乘的形式的时候，中间有10个2？

题目二（中等难度）

在1、2、3……、1997这些自然数中，有多少个数分解成素数相乘的形式的时候，中间只有3个2？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

某数n=1*2*3……*1997，请问n分解成素数相乘的形式的时候，中间有多少个2？

以下为答案：

题目一：

答:1个。

因为10个2相乘等于1024，

1<1997><>

所以，只有1个数满足题目条件，即1024。

题目二：

答:125个。

因为2*2*2=8，

1997/8=249.625，

故：在1-1997中，只有249个数能被8整除。

要使数a分解成素数相乘的形式的时候，中间只有3个2，

也就是a=8*k，k是奇数，

在1-249中，有125个奇数，

这些奇数乘以8都满足条件。

所以，共125个。

题目三：

答:1989。

根据分解后2的个数对1-1997进行分类。

类似于题目二的方法，得到：

在1-1997这些数中，分解成素数相乘的形式的时候，2的个数只可能为1、2、……10，

其数量分别为：499、250、125、62、31、16、8、4、2、1。

因此，1-1997相乘后，分解时2的个数为：

1*499+2*250+3*125+4*62+5*31+6*16+7*8+8*4+9*2+10*1=1989。