今天的目标是解如下奥数题,所用知识不超过小学4年级,让你家小朋友试一试,每天进步一小点:
某数n=1*2*3……*1997,请问n分解成素数相乘的形式的时候,中间有多少个2?
该题目属于分解因数问题,本质是数列乘积的问题,方法是寻找规律,对数列进行分类,然后求和。
解题思路可化为以下三道题目:
题目一(简单)
在1、2、3……、1997这些自然数中,有多少个数分解成素数相乘的形式的时候,中间有10个2?
题目二(中等难度)
在1、2、3……、1997这些自然数中,有多少个数分解成素数相乘的形式的时候,中间只有3个2?
题目三(进阶思考,华杯赛真题)
某数n=1*2*3……*1997,请问n分解成素数相乘的形式的时候,中间有多少个2?
以下为答案:
题目一:
答:1个。
因为10个2相乘等于1024,
1<1997>1997><>
所以,只有1个数满足题目条件,即1024。
题目二:
答:125个。
因为2*2*2=8,
1997/8=249.625,
故:在1-1997中,只有249个数能被8整除。
要使数a分解成素数相乘的形式的时候,中间只有3个2,
也就是a=8*k,k是奇数,
在1-249中,有125个奇数,
这些奇数乘以8都满足条件。
所以,共125个。
题目三:
答:1989。
根据分解后2的个数对1-1997进行分类。
类似于题目二的方法,得到:
在1-1997这些数中,分解成素数相乘的形式的时候,2的个数只可能为1、2、……10,
其数量分别为:499、250、125、62、31、16、8、4、2、1。
因此,1-1997相乘后,分解时2的个数为:
1*499+2*250+3*125+4*62+5*31+6*16+7*8+8*4+9*2+10*1=1989。
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