16.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD为直径作○O。将矩形ABCD绕点 C旋转,使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与○O相切,切点为E,边CD'与○O相交于点F,则CF的长为______
分析:
这里有圆,想与圆有关的辅助线,遇到切点连接半径,直径想90°圆周角,有半径想垂径定理构图,综合上面的想法进行构图如下:
解题:
连接DF、DH、OE,DH和OE交于点G。
易得矩形GHB'E、矩形DHCF,设EG=B'H=x
垂径定理知DG=HG,而DO=CO,则有中位线OG
在△DHC中,OG=1/2HC,
即
解得x=1
∴HC=4-X=3
∴DF=HC=3
在Rt△DFC中:
故CF的长为4.
思考:
本题本人一开始实际上作出了梯形的中位线,抓住梯形的中位线解决,但有的教材上已经删除梯形的内容了,故避开了梯形中位线性质来解决。而是抓住三角形中位线性质来列方程解决。利用梯形中位线构图如下:
根据平行线所截得的线段对应成比例得GE/B'E=OD/OC,而OD=OC,∴GE=B'E,
则OE是梯形GB'CD的中位线,有OE=1/2(GD+B'C),即5/2=1/2(4+GD),GD=1,DF=4-1=3
在Rt△DFC中,CF=4
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