二次函数压轴题3，将军饮马问题和直角三角形存在性问题

【题目呈现】

如下图，已知抛物线y=ax²十bX十c(a≠0)的对称轴为直线x=一1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.

(1)若直线y=mx十n经过B、C两点，求直线和抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴x=一1上找一点M，使点M到点A，点C两点距离之和最小，求点M的坐标;

(3)设点P为抛物线对称轴x=一1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.

【分析】

第一问，由已知对称轴，及A，C两点坐标，用待定系数法即可求解；

第二问，由于A，B两点关于对称轴对称，直线BC与对称轴的交点即为要求的M点;

第三问，以B、P、C三点分别为直角顶点分类讨论。利用勾股定理建立方程，若有解则存在这样的点P，若无解则不存在。

【答案解析】

解:(1)依题意，得①一b/2a=一1，②a十b+c=0，③c=3。三式联立解得，a=一1，b=一2，c=3.∴抛物线的解析式为y=一x²一2x+3，令y=0，得出B点坐标为(一3，0)

∵直线y=mx+n经过B(一3，0)，C(0，3)两点，∴可得①一3m十n=0，②n=3，∴m=1，n=3.∴直线BC的解析式为y=X十3.

②∵MA=MB，∴MA+MC=MB十MC，∴使MA十MC最小的点M应为直线BC与对称轴x=一1的交点.设直线BC与对称轴X=一1的交点为M，把x=一1代入直线y=X+3，得y=2，∴M(一1，2).

(3)设P(1，t)，结合B(一3，0)，C(0，3)得BC²=18，PB²=(一1十3)²+t²=4+t²，PC²=(一1)²十(t一3)²=t²一6t十10.

若B为直角顶点，则BC²十PB²=PC²，即18+4+t²=t²一6t+10，解得t=一2;

若C为直角顶点，则BC²+PC²=PB²，即18十t²一6t十10=4+t²，解得t=4;

若P为直角顶点，则PB²十PC²=BC²，即4十t²+t²一6t十10=18，解得t1=(3十√17)/2，t2=(3一√17)/2.

综上所述，满足条件的点P共有4个，分别为P(一1，一2)或P(一1，4)或(一1，3/2十√17/2)或(一1，3/2一√17/2).

【反思】

本题，难度不算太大，要熟练掌握将军饮马问题，善于运用分类讨论的思想方法。感谢大家的关注，转发，点赞和交流。