唐朝诗人李颀( qí )的诗《古从军行》开头两句说:'白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河. '诗中隐含着一个有趣的数学问题.
如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.
请问怎样走才能使总的路程最短?
这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.
将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的B地开会,应该怎样走才能使路程最短?从此,这个被称为'将军饮马'的问题广泛流传.
将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题(轴对称是工具,最短距离是题眼)。所谓轴对称是工具,即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼,也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题,然后利用轴对称解题。
【模型一】一定直线,异侧两定点
1.如图,直线 l 和 l 的异侧两点 A、B,在直线 l 上求作一点 P,使 PA+PB 最小。
【模型二】一定直线,同侧两定点
2.如图,直线 l 和 l 的同侧两点 A、B,在直线 l 上求作一点 P,使 PA+PB 最小。
【模型三】一定点,两定直线
3.如图,点 P 是∠MON 内的一点,分别在 OM,ON 上作点 A,B,使△PAB 的周长最小.
【模型四】两定点,两定直线
4.如图,点 P,Q 为∠MON 内的两点,分别在 OM,ON 上作点 A,B,使四边形 PAQB 的周长最小。
【模型五】一定直线、一定点、一动点
5.已知直线l和定点A,在直线k上找一点B(点A、B在直线l同侧),在直线l上找点P,使得AP+PB最小。
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