拼接法探索圆中三条线段数量关系

在几何综合题中，探索三条线段的数量关系是一种常见考点，通常这类问题的解决是将这三条线段通过转换，变成两条线段或一个特殊三角形例如直角三角形，从而得到它们之间的数量关系。简单的关系即两条线段和等于第三条线段，稍复杂的结果是三条线段满足勾股定理，或者在这二者基础上再加以变化，但万变不离其宗，合理构造全等或相似是第一步。

题目

在平面直角坐标系中，P点在x轴上⊙P交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，E为⊙O上一点，连接CE。

(1)如图①，若弧AC=弧CM，AB=13，BM=5，求点C的坐标；

(2)如图②，当O为AP中点时，探究DE，CE，BE之间的数量关系；

(3)如图③，当O为AP中点时，写出DE，CE，AE之间的数量关系_______________；(不必证明)

解析：

(1)条件中的AB与BM正好可以构成一个直角三角形，连接AM即可，并且可求得AM=12，同时由等弧AC和CM，联想到垂径定理的结论之一，连接PC，交AM于点N，很容易证明PC⊥AM，于是AN=6，如下图：

观察图中的△APN和△CPO，利用公共角、直角以及PA=PC，证明它们全等，于是OC=AN=6，得出C(0,6)；

(2)探索这三条线段的数量关系，首选方法是将其中最短的线段搬到较长的线段上，我们选择将DE搬到CE上，在CE上截取EF=DE，连接DF，DB，如下图

此时DE=EF，那么CE剩下的CF和BE是什么关系呢？观察图中的△CDF和△BDE，能否证它们全等？

点O为AP中点，这个条件其实信息量很大，由条件可直接得到CD是AP的垂直平分线，同时由垂径定理又可得到AB也是CD的垂直平分线，当我们连接AC，PC时，如下图：

△ACP是一个等边三角形，弧AC所对圆心角为60°，而弧AC=弧AD，于是圆周角∠DEC=∠CBD=60°，因此结合辅助线作法，△DEF和△BCD也是等边三角形，于是DF=DE，DC=DB，而∠CDB=60°，减掉中间的∠BDF，分别得到∠CDF=∠BDE，全等的三个条件都具备了，因此判定△CDF≌△BDE，CF=BE，现在，结论已经出来的，CE=DE+BE

(3)乍一看，仅仅把上一问中的BE换成了AE，其余条件不变，是否意味着只需要探索AE与BE的关系即可？看上去可行，实际上是个小坑，这是小聪明不可取，还是老老实实按探索步骤进行，想办法将这三条线段转换到一处，思路从何处打开？先观察上一问中的特殊角，我们已经证明了∠APC这个圆心角为60°，所以第3问中，∠AEC是弧AC所对的圆周角，可知它为30°，很自然，尝试构造含30°角的直角三角形，过点A作AG⊥CE，剩下的DE怎么办？将它拼接到CE上，延长EC至点F，使CF=DE，如下图：

连接AF，AD，AC，观察△ACF和△ADE，AC=AD和CF=DE很容易得到，而它们的夹角∠ACF和∠ADE则不太容易，其实它们恰好是圆内接四边形ADEC的一个外角及其内对角，在学习圆周角的时候，我们曾经学习过圆内接四边形的对角互补，同时在练习中我们又推导出另一个结论，圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。现在利用SAS可证明△ACF≌△ADE，所以AE=AF，即等腰△AEF，由三线合一，可知点G即为EF中点，现在我们整理一下思路，DE被转换到CF，而AE与EG在一个含30°角的直角三角形中，于是EG=√3/2AE，所以EF=√3AE，最后得出结论CE+BE=√3AE.

解题反思

圆的综合题之所以学生会感觉困难，最大的原因在于解题思维依然停留在直线型题目，在圆有关的综合题中，一定要学会看图，即弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距关联起来，养成习惯，不要单独割裂开来，之所以我们将它们称为“五合一定理”，其目的也就在于此。而全等三角形，被证实依旧是寻求等量关系的不二法门，更进一步，这道题的两次全等证明，都是绕某个点旋转后的全等三角形，对旋转变换一定要非常熟悉。

如果有一个环节落节，则会导致整个思路不能通畅，所以，几何学习要做到将知识点联成网，去网结论这条大鱼。