以下内容是初中几何到高中数学竞赛几何训练的过渡性质的几何内容。适合初步掌握了初中平面几何，具备一定解题能力的初中生与高中学生阅读。也可供三线以下城市乡村，立志与省城优秀奥数教练比拼以下的年轻教师钻研，并预祝取得好成绩。
三角形的垂足与三角形顶点可以组成各种各样的共圆图形，其中最有名气的一个----九点共圆是18世纪，19世纪由欧拉等数学家发现的。这是道著名的几何题目。
⊿ABC中Ah,Bh,Ch是三个高的垂足，Am,Bm,Cm是三边中点，H是垂心，M,N，L分别是AH，BH，CH的中点，则这九点共园。显然如果九点共园的话，那么这个圆是三角形AmBmCm的外接园，其半径应该为三角形ABC外接的一半。另外一个优美的特性是，这个九点园的圆心，三角形ABC的外接圆心，重心，垂心四点共线，这条线叫欧拉线。下面我们就来证明这个共园与共线的问题。
九点共圆的证明:
如图连线。
MN=1/2BC，CmBm=1/2BC,MN//BC,BC//CmBm,故CmBm=MN,CmBm//MN,
CmM=1/2AAh,BmN=1/2Aah,CmM//Ah,BmN//Ah, 故CmM=BmN,CmN//BmN
AAh⊥BC,故CmM⊥MN。所以MNBmCm是矩形，四个顶点共圆.MBm是直径。由下图可以看到∠BmBhM是直角,故Bh在以MBm为直径的圆上。
同法可以证明Ch也在这个圆上，再由下图，可以看到MLBmAm也是矩形，故顶点都在以BmM为直径的圆上，而同法可证Ah与这四点共园。最后我们得到了9点共圆的结论。
九点共圆是三角形AmBmCm的外接圆，故其半径为三角形ABC外接圆的一半。
现在ABC外接园心O就是三角形AmBmCm的垂心。
由BmO//BBh,∠QBmG=∠HBG，BmO=1/2BH,BmG=1/2BG
所以BmO:BmG=BH:BG 所以⊿BmOG～⊿BHG,所以∠BmGO=∠BGH,故O，G，H共线。 即三角形的垂心，重心，外接圆心共线。
将上面的证明的结果对三角形AmBmCm使用，则O,G，W共线，从而O，G,W,H共线。我们就获得了欧拉线。欧拉线表明：在三角形中做的中点三角形，再做这个中点三角形的中点三角形，那么所有的这些三角形的重心是一固定点，而垂心，重心,外接圆心在一条固定的直线之上。
费尔巴哈定理：三角形的九点园与三角形的内切圆与旁切园都相切。
为了证明这个定理，我们先证明几个定理
1.⊿ABC中I是内心，O是外心，AI的延长线与外接园相交于E，则IE=EB=EC
证明：
连接E,C；I,C
则由于A,B,E,C共园，所以∠BCE=∠BAE
AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠CAI=∠BCE
CI平分∠BCA，所以∠ICA=∠ICB
而∠EIC=∠CAI+∠ICA=∠BCE+∠ICB=∠ICE
所以⊿IEC等腰
2.如果⊿ABC中I是内心，O是外心，AI的延长线与外接园相交于E，⊿ABC
的内接园半径为r，外接园半径为R，则：AI.IE=2rR
证明：如图
过I做AC垂直线，垂足为B’，过O做BC的垂直线且与外接园相交于E,F，垂足为A1,IB’=r，
则因为EF是直径，所以EF=2R，⊿EFC是直角三角，又由于∠CFE=CAE
所以RT⊿EFC∽⊿IAB’
所以r：EC=AI:2R
即：AI.EC=2rR
由定理1得到
AI.IE=2rR
回到原来的定理
设⊿ABC中H,I,O,N分别是三角形的垂心，内心，外心以及九点园心，则
H,N,O共线且N是HO的中点，设A1是BC的中点，OA1延长线与外接园相交于E,F。
X是BC上的高的垂足，AX延长线与外接园O相交于K，AK//EF且与BC垂直,AK的中点为Y。
过内心I，做BC平行线与AK,EF相交于Q,P。
D,M是I,N到BC的投影。
我们有HK=2HX,AH=2OA1,以及AI.IE=2rR
由相似三角形得到：
这个投影的平方就是
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