透过一个玻璃窗看一个真实物体：把玻璃窗当成一张纸，就相当于在玻璃上看到了一幅画，把玻璃窗当成一个相片，相当于看到了真实物体的影像。虽然纸张和照片底片都是平面的，但人们可以在平面上分辨出原来物体的立体特征。如图⒈所示。
图1。透过一个玻璃窗看实物，一个绘画板图像
图2.摄像机拍摄实物
把摄像机或者人眼看做一个点，把画布，窗户，胶片看成一个平面，真实物体上的一个点在画面上的影像，可以看成由物体上的点发出的到人眼的光线穿过一个平面形成的交点，一个物体上的点在平面上的对应点被称为物体在平面上的投影点，人眼或者摄像机器就是中心点，一束束光线抽象成投影线，这个中心点被抽象成投影中心，画布胶片之类可以抽象成投影平面。
对射影问题或者投影问题的关注最早在意大利的文艺复兴时期。建筑师雕塑师布鲁内莱斯基首先提出了直线投影与无影点等概念。早期画家阿尔贝蒂，以及皮耶罗弗兰切斯卡写过有关投影几何方面的著作。后来达芬奇等画家为了更生动逼真地绘画，对此作过非常深入的研究，产生了科学的透视画法。这种方法可以产生逼真的平面艺术效果，其机制与我们人眼对景物的光线接收方式几乎一模一样。透视画法蕴含着的几何原理经过演变形成了画法几何学，射影几何学，广泛应用在机械建筑工程制图，美术，摄影，电影制作上。原理也被人们用诸如群论，线性变换这样一些原来用于研究数论与方程解法的方法进行研究，推动了数与形的更深入结合。随着计算机技术的发展，射影几何学广泛应用于计算机图形学，计算机辅助设计与制造，动漫与电子游戏设计，计算机模拟视觉，计算机智能识别等领域。随着技术与原理的发展，人类面临着在未来的一个世纪用计算机显示的图形图像基本代替纸的历史转折。对人眼关于景物的获取与识别机制的进一步深入研究，再与几何学，光学原理，色度学及计算技术的结合正在发展出全新的智能系统。图像分析方法，深度学习机制的进一步应用将使得你们这一代人看到前人从来没见过的美妙图像，将科学的结果，自然的现象，甚至看似杂乱无章的社科数据更直观更深刻地展现出来。这是一幅令人激动的未来画卷。算法，图形，结构关联，逻辑内涵，以及智能这些词汇将构成未来数学的新地貌，绝不仅仅是所谓的数和形的问题。
在数学里习惯地认为法国人蒙日是画法几何的发明人，而蒙日的学生彭色列是影射几何学的发明人，大概后者主要关注的是投影的数学问题吧，而以前的人主要着重点是应用。
图4，中心投影
假设中心投影点离开实物足够远，这相当于通过平行光线将实际物体投影到投影平面上，这样的投影叫平行投影。
图5. 平行投影
虽然我们可以想象将平行投影到投影平面上去，可实际可以使用的画纸大小却是有限的，我们只能将图像再加以缩放才能比较合适地画在纸张上，这其实可以看成一种按比例进行的变换，也叫线性变换。第一次的投影我们也叫做射影或者投影变换。将图像变换成实际物体，在数学上也可以看成变换，这是投影变换的逆变换，这也是个图像研究领域。学名叫：图像重构。
空间坐标系
平面可以建立直角坐标系统，让一个平面上的点和一个数对建立起1-1对应的关系，对于空间上的点我们可以模仿平面的办法加以推广，那就是在平面坐标系统的原点再立起一条数轴来，这样形成一个三个互相垂直直线组成的坐标系统：X-Y-Z坐标系统。我们发现，一共形成了三个平面坐标系统：分别是:X-O-Y,X-O-Z，Y-O-Z。
任何一个空间点的坐标可以这样定义，让其向三个平面X-O-Y,X-O-Z，Y-O-Z做垂直投影，获得这个点的三个影像点，X-O-Y上的影像点的X坐标必然和Y-O-Z的影像坐标相同，同样地X-O-Y的影像点的Y坐标与Y-O-Z的影像点Y坐标相同，还有在X-O-Z与Y-O-Z上的影像点的Z坐标相同。这三个相同的坐标值作为空间点P的坐标的话，那么空间的点P就与 一个唯一的三元数组（ x,y,z）建立了1-1对应的关系。这样我们就建立了空间坐标系统。考虑一条空间直线。
假设这条直线过（x0,y0,z0）点，设想一个点P由(x0,y0,z0)开始做匀速运动，这个点在 x,y,z轴的三个速度分量为vx,vy,vz,那么有
P点的坐标分别为
x=vxt+x0
y=vyt+y0
z=vzt+z0
(x-x0)/vx=(y-y0)/vy=(z-z0)/vz……(1)
代表了两个三元一次方程，这两个三元一次方程形成了一条空间直线的方程。
空间坐标系统可以分为左手，右手坐标系统。
右手标系统：用右手握住拳头，拇指指向z轴的方向，握拳头的方向形成X轴到Y轴的旋转方向，这是数学中习惯的坐标系统。
将右手坐标系统定义中的右手换成左手，其余不变就形成了左手坐标系统，这适合自然的空间图形，如下图就是现实坐标。
图8
投影平面与实际物体之间建立坐标系统，如下图，黑框呈现的就类似于计算机屏幕呈现的画面。
图8
人们之所以在工程上广泛使用平行投影，是因为平行于投影面的线段，其投影长度不变。不平行于投影平面的线段长度会发生变化。
对于用纸张或者计算机研究立体几何来说，需要找一个种合适的平行投影线的方向。设想一个实体空间坐标系统，与x，y，z轴平行的线段投射的到射影平面上后，其像上的线段长度与实际线段长度保持最简单的比例。如果xoy平面与投影平面平行，那么与之平行的线段的像与实物之间的长度比会保持为1：1.
垂直于摄影平面的直线就会与z轴平行，调整摄影线的方向，使投影线与ox，oy轴的夹角相等，且长度保持为原来的1/2.就是一种非常简单的比例关系，这叫做斜二测直观图，西方也称为木匠图，大概是其简单，适合做家具的展示吧。
这里不妨假设X-O-Y就是投影面，与投影面平行的线的轴向伸缩系数比为1：1,即保持与xoy平面平行的线段长度不变。我们来研究一下什么方向的平行射影线可以使得垂直于投影面的直线轴向伸缩系数为2：1.首先做∠xoy的平分线OW，设B为OW上的任意一点在oz轴上截取OA=2OB,则投影线方向与AB平行。投影线与投影面的倾斜角度：θ=arctan(2)=63.430，垂直线投影与两个平行轴夹角相等的投影也叫二度投影。
图9
图10
下面是两个斜二测直观图的例子
例题1.画正方体。
让正方体的一个面与投影面平行，如前面ABB’A’。则上顶面AD与投影面垂直，先做正方形ABB’A’,做∠BAD=450,在AB上截取AD=1/2AB，过B做BC//AD，过D做DC//AB，相交于C,顶面完成，过C做CC’//BB’,过B’C’做B’C’//BC与CC’相交于C’，右侧面做完。用虚线，过D做DD’//AA，过A’做A’D’//AD相交于D’，连接D’,C’。则正立方体轮廓线的斜二测直观图完成。
例题2.画一个垂直于射影面的的正三角形。
先在正三角形ABC做高AD，做直线B’C’//BC，取A’B’中点D’做角∠AD’C=450,截取D’A’=1/2AD，连接A’,B’;A’,C’,即得所求作。
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