折叠问题和存在性问题都是历年中考的常见题型，也是考查多个知识点的综合型试题，两者一旦结合起来难度更大，因此此类综合问题在考试中得分率较低，要想顺利解决此类问题，往往需要以下的知识储备：
1、折叠特征的认识；
2、直角特征的转化——“斜直角结构”；
3、依据特征分析转化、作图——分类讨论；
4、特殊角、解直角三角形的能力需过关.
以下是前两个问题的进一步说明：
1. 折叠特征的认识
⑴折叠前后的图形完全重合，是一种全等变换，通过折叠转移边，转移角；
⑵对称轴与对应点：①折叠前后的对应边、对应角相等；②折痕（对称轴）是对应点连线的垂直平分线，即折痕所在的直线就是折叠前后图形的对称轴，也是角的平分线.
⑶常见组合动作：
①设未知数、表示出其他的量，最终通过列方程来解决问题；
②矩形背景下通常折叠出等腰三角形（如下图1中的△DEF和图2中的△MAC）；
③二次折叠往往出现60°、90°角（如下图3和图4）；
④圆（如下图5，点E是DC边上的动点，把AD沿AE折叠，则D的对应点D＇就在以A为圆心，AD长为半径的圆弧上）.
⑷①运动过程中，折痕过一个定点，则折叠后的对应点在圆上；
②运动过程中，折痕过两个定点，以动点为顶点的角为90°，则动点在圆上.
2.斜直角结构——“斜放置的直角放正”
上面的两个图中，若AB=BC，则△ABD≌△BCE；若AB≠BC，则△ABD∽△BCE.（这是一个很有用的模型，是“一线三等角”的一种特殊情况）
还有一种这样的情况：
一般有两种处理方法：一是过点D分别作DM⊥AC于M、DN⊥BC于N；二是过点D作DG⊥AB交AC于点G.由作法一可得△DEM∽△DFN，由作法二可得△DEG∽△DFB.
以上都是斜放置的直角常见的处理方法.
【典例1】
如下图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=√2+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形，则BM的长为____________.
分析：本题中若△MB′C为直角三角形，应该分3种情况， 点M、B＇、C都有可能是直角顶点，但是由题意已知∠C=45°，所以不考虑点C作为直角顶点的情况，那么只有以点M和B＇为直角顶点的两种情况.
分别画出图形对它们进行求解：
①当∠MB＇C=90°时
可设BM=x，则MB＇=x，MC=√2x，因为BC=√2+1，所以x+√2x=√2+1，于是解方程即可解得BM=1.
②当∠B＇MC=90°时
此时点B＇与顶点A重合，AM即是斜边上的中线，因此不难得出BM=（1+√2）/2.
反思：对于此类题型，首先是要做到正确的分类，其次是针对每种情况画出对应的图形，然后标出数据想办法求解，经常用到的知识有勾股定理、相似三角形等，需要列出方程时，往往把比较短的线段设为未知数.
【典例2】 如下图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7．点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为______．
分析：点D的对应点应该就在以A为圆心，以AD长为半径的圆弧上，通过作图，我们发现，与∠ABC的角平分线有两个交点D₁和D₂，所以，这个问题应该分两种情况来分别求解.最终答案为5/3或5/2.
反思：通过本题可以发现尺规作图在分类情况中的作用，我们也能看到基本模型对解题的辅助作用，本题中也出现了一线三垂直的模型，如下图，可以过D₂作MN⊥AB，构造△EMD₂∽△D₂NA求解.
【典例3】（2015河南中考15题）如下图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为____________.
分析：题中E是定点，EB是定长，因此，点B的对应点B′的轨迹就在以E为圆心，EB长为半径的圆弧上（记为弧1）.若△CDB′为等腰三角形，则C、D、B′都可以为等腰三角形顶角的顶点，其中C和D是定点，B′是动点，完全符合“两圆一线定等腰”的模型：若CB′=CD，以点C为圆心，CD为半径作弧；若DB′=DC，以点D为圆心，DC为半径作弧；若B′D=B′C，作CD的中垂线.它们与弧1的交点就是符合条件的点B′的位置.（如下图共3个交点）
下面的任务就是逐个分析求解：
①当点D为等腰三角形顶角的顶点时，DC=DB＇=16（如下图）；
② 当点B＇为等腰三角形顶角的顶点，即DC=DB＇时，此时点B＇应在DC的垂直平分线上，如下图所示.
由题意可知，AE=3，BE=B＇E=13，AM=BM=8，ME=5.则在Rt△B＇ME中，由勾股定理可得B＇M=12，
则B＇N=16-12=4，由于DN=8，因此在Rt△B＇DN中，可求得B＇D=4√5；
③ 当点C为等腰三角形顶角的顶点，即CD=CB＇时，如下图所示，因为EF是折痕，所以EF是线段BB＇的垂直平分线，又因为CB＇=CD=CB，EB=EB＇，可知EC也是线段BB＇的垂直平分线，也就是点F和C应该是重合的，这就和题设矛盾，因此这种情况不成立.
综上所述，DB′的长为16或4√5.
反思：通过对本题的分析探究，再回想一下，本题是以什么标准进行分类的？我们是怎样找到每一种情况点B＇的位置的？
【总结】
⑴折叠中的存在性问题首先要根据不变特征，确定分类标准；
⑵学习并掌握一些基本的几何模型，对提升折叠和存在性问题的能力大有裨益，如常见的几何模型有：一线三等角结构、直角结构、中点结构、手拉手模型、旋转模型、辅助圆的构造等等；
⑶重视尺规作图在分类讨论问题中的作用，依据原理分析转化作图，是继续做题的基础，也在一定程度上解决了分类讨论的问题，因此，无论题中要没要求尺规作图，我们都应有意识的用尺规来帮助我们分析问题，常见的作图特征有：
①一定点一动点，两点间距离确定，则动点在圆上；②两定点一动点，满足以动点为顶点的角为90度，则动点在圆上；③直角三角形中，直角顶点固定，斜边运动但长度不变，则斜边中点在圆上。
理论依据：①是圆的定义：“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，定点就是圆心，定长就是半径”；②和③是定理“直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径”的实际应用。
与折叠相关
①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上；②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线。
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