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八年级的同学学习了三角形的知识,由于等腰三角形有丰富的性质,这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据,所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键,判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是:
从定义人手,证明一个三角形的两条边相等;从角入手,证明一个三角形的两个角相等,
实际解题中的一个常用技巧是,构造等腰三角形,进而利用等腰三角形的性质为解题服务,常用的构造方法有:
⑴“角平分线+平行线”构造等腰三角形;
⑵“角平分线+垂线”构造等腰三角形;
⑶用“垂直平分线”构适等腰三角形;
⑷用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。
如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD丄AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.
⑴ 求证:CE=CF;
⑵ 将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'的位置,使点E'落在BC边上,其他条件不变,如图2,求证:A'E'是∠CE'D'的角平分线;
⑶试猜想:BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论。
⑴ 根据角平分线的定义可得∠1=∠2,再根据等角的余角相等求出∠CFE=∠AED,然后根据对顶角相等可得∠CEF=∠AED,从而得到∠CEF=∠CFE,再根据等角对等边证明即可;
⑵ 根据平移的性质得∠ME'D'=∠AED,AE'∥AE,再根据两直线平行,同位角相等可得∠CFE=∠AEF,然后求出∠AED'=∠ANEF,根据角平分线的定义证明即可;
⑶ 根据平移的性质可得∠2=∠3,AE=AE',求出∠1=∠3,再根据等角的余角相等求出∠B=∠4,再利用“角角边”证明△ACE和△A'BE'全等,根据全等三角形对应边相等可得BE'=CE,从而得到BE'=CF。
证明:⑴ ∵AF平分∠CAB,
∴∠1=∠2,
∵∠ACB=90°,CD丄AB,
∴∠1+∠CFE=90°,∠2+∠AED=90°,
∴∠CFE=∠AED,
∵∠CEF=∠AED(对顶角相等),
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF;
⑵∵△ADE沿AB向右平移得到△A'D'E',
∴∠A'E'D'=∠AED,A'E'//AE,
∴∠CFE=∠A'E'F,
∵∠CFE=∠AED,
∴∠A'E'D'=∠A'E'F,
∴A'E'是∠CE'D'的角平分线;
⑶ 由平移的性质得:∠2=∠3,AE=A'E',
∴∠1=∠3,
∵∠ACB=90°,CD丄AB,
∴∠4+∠BAC=90°,∠B+∠BAC=90°,
∴∠B=∠4,
在△ACE和△A'BE’中,
∠1=∠3,∠B=∠4,AE=A'E
∴△ACE≌△A'BE'(AAS),
∴BE'=CE,
∵CE=CF,
∴BE'=CF。
①平移前后的两个图形大小、形状完全相同,
只改变图形的位置;
②图形上的每个点都平移了相同的距离,对应
点之间的距离就是平移的距离;各组对应点连成的线段平行(或在同一直线上)且相等。
上述例题根据三角形的角平分线的性质,等腰三角形的性质,直角三角形的性质,全等三角形的性质与判定,平移的性质,考点颇多,虽然只是考查三角形的内容,但是通过练习,可以提高几何解题思维和综合运用知识的能力。
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