整式的化简常与求值相结合,解决此类问题的大致步骤为'一化、二代、三计算',有时根据题目的特征和条件,灵活的选择解题方法,常见的类型有:
一,直接代入求值
1.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,|x|=1,求式子a+b十x²一cdx的值.
【分析】由条件知,a+b=0,cd=1,由于|x|=1,∴x=±1,求值分两种情况。
解:因为a,b互为相反数,所以a+b=0,因为c、d互为倒数,所以cd=1,又因为|x|=1,所以x=±1.
当a十b=0,cd=1,x=1时,原式=0+1²一1×1=0;
当a+b=0,cd=1,x=一1时,原式=0十(一1)²一1×(一1)=2.
综上,式子a十b+x²一cdx的值为0或2.
二,化繁为简后求值
2.先化简,再求值:5ab²一{2a²b一[3ab²一(4ab²一2a²b)]},其中a=一3,b=1/2
【分析】化简去括号,可以先去小括号,再去中括号,最后去大括号;也可以先去大括号,再去中括号,最后去小括号。不管哪一种去法,都要注意去括号法则:括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号不变,括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号要变号。
解法一:5ab²一{2a²b一[3ab²一(4ab²一2a²b)]}=5ab²一2a²b+[3ab²一(4ab²一2a²b)]=5ab²一2a²b+3ab²一(4ab²一2a²b)=5ab²一2a²b+3ab²一4ab²+2a²b=4ab².
当a=一3,b=1/2时,原式=4×(一3)×(1/2)²=4×(一3)×1/4=一3.
解法二,5ab²一{2a²b一[3ab²一(4ab²一2a²b)]}=5ab²一[2a²b一(3ab²一4ab²十2a²b)]=5ab²一(2a²b一3ab²+4ab²一2a²b)=5ab²一2a²b十3ab²一4ab²+2a²b=4ab²
当a=一3,b=1/2时,原式=4×(一3)×(1/2)²=4×(一3)×1/4=一3.
三,数形结合化简
3.已知a,b,c在数轴上对应的点如图.
化简:|b一c|一|b+c|+|a一c|一|a+c|一|a十b|.
【分析】去绝对值,关键是对绝对值里整体式子是正数,负数,还是零的判断,然后再根据绝对值的意义,去掉绝对值。绝对值的意义:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是零。
解:由于数轴上右边的点比左边的点表示的数大,所以,b一c>0,b+c<><><><>
原式=(b一c)一(一b一c)+(c一a)一(一a一c)一(一a一b)=b一c十b+c+c一a+a+c+a十b=a+3b十2c
四,整体代入求值
(I).直接整体代入求值
4.已知A=2a²一a,B=一5a+1
(1)化简:3A一2B+2;
(2)当a=一1/2时,求3A一2B+2的值.
解:(1)3A一2B+2=3(2a²一a)一2(一5a+1)+2=6a²一3a+10a一2+2=6a²+7a.
(2)当a=一1/2时,原式=6a²+7a=6×(一1/2)²十7×(一1/2)=6×1/4一7/2=3/2一7/2=一2.
(ll)变形后整体代入求值
5.已知xy=2,x+y=3,求(3xy十10y)十[5x一(2×y十2y一3x)]的值.
解:原式=3xy+10y十5x一2xy一2y十3x=xy十8x+8y=xy+8(x+y).
当xy=2,x十y=3时,原式=2+8×3=26.
(lll)化简后整体代入求值
6.当x=1时,多项式ax³+bx+1的值为5,则当x=一1时,多项式ax³/2+bx/2+1的值为多少?
解:由题意得,a×1³十b×1+1=5,即a十b+1=5,a+b=4,当x=一1时,ax³/2+bx/2+1=a/2(一1)³+b/2(一1)十1=一a/2一b/2+1=一1/2(a十b)十1=一1/2×4十1=一2十1=一1.
(lV)特殊值法代入整体求值
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