「初中数学」证比例式或等积式的六种常用技巧

证比例式或等积式的题目时，若问题中无平行线或相似三角形，则需要构造平行线或相似三角形，得到成比例线段.若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似;若比例式或等积式中的线段分布不在两个三角形中，可尝试将它们转化到两个三角形中;若比例式或等积式中的线段分布在两个明显不相似的三角形中，可尝试用中间比代换.

技巧一.构造平行线法

1.如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证AE×CF=BF×EC.

【分析】由AE×CF=BF×EC，变为AE/BF=EC/CF或AE/EC=BF/CF，成比例的线段明显的组不成三角形，于是寻求中间比进行代换，过C点作CM∥AB，交DF于M，如图，

则BF/CF=BD/CM，AE/EC=AD/CM，而D为AB的中点，则AD=BD，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC.

另，过C点作CM∥DF交AB于M，如图

则AE/EC=AD/DM，又BF/CF=BD/DM，而AD=BD，∴AE/EC=BF/CF，即AE×CF=BF×EC.

另，过B点作BM∥AC，交FD的延长线于M，如图

则BF/CF=BM/EC，而D为AB的中点，易证AE=BM，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC，这里巧用AE等量代换了BM，得证.

另，过B点作BM∥DF交AC的延长线于M，如图

则BC/CF=CM/EC，∴(BC+CF)/CF=(CM+EC)/EC，即BF/CF=EM/EC，而DE是△ABM的中位线，AE=EM，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC.

另，过A点作AM∥DF交BF的延长线于M，如图

∵D为AB的中点，∴BF=FM，又AE/EC=FM/CF，∴AE/EC=BF/CF，即AE×CF=BF×EC.

另，过A点作AM∥BC，交FD的延长线于M，如图

则AM/CF=AE/EC，而D为AB的中点，易证AM=BF，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC.

技巧二.构造相似三角形法

2.已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD=CE，DE交AC于点F，求证AB×DF=BC×EF.

【分析】由AB×DF=BC×EF，变形为AB/BC=EF/DF，成比例的线段可构成△ABC，而EF，DF构不成三角形，可寻求中间比代换，过D作DM∥BE，交AC于M，如图

则出现A型相似，△ADM∽△ABC;X型相似，△CEF∽△MDF，∴有AB/BC=AD/DM，EF/DF=CE/DM，而AD=CE，∴AB/BC=EF/DF，即AB×DF=BC×EF.

另，过E点作EM∥AB，交AC的延长线于M，如图

同学们自己证一下.

技巧三，三点定型法

3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，MD⊥BC，交AB于E，交CA的延长线于D，求证AM²=DM×EM.

【分析】由AM²=DM×EM，化为AM/DM=EM/AM，锁定两个三角形ADM与△EAM，看是否相似，∵∠BAC=90°，M是BC的中点，∴BM=AM，∴∠B=∠BAM，而∠D，与∠B都是∠C的补角，∠B=∠D=∠EAM，∵∠AEM=∠D+∠DAE，∠DAM=∠EAM+∠DAE，∴∠AEM=∠DAM，又∠AME=∠DMA，∴△AME∽△DMA，∴AM/DM=EM/AM，即AM²=DM×EM.

技巧四.等积过渡法

4.如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D，求证CE²=DE×PE.

【分析】从结论分析，成比例的线段不在三角形中，那么就要找等量代换，由BG⊥AP，DE⊥AB，∴∠AEP=∠BED=∠AGB=90°，∵∠P与∠ABG都是∠PAB的余角，∴∠P=∠ABG，∴△AEP∽△DEB，∴AE/DE=PE/BE，即AE×BE=DE×PE，又CE⊥AB，∠ACB=90°，易证△AEC∽△CEB，∴AE/CE=CE/BE，即AE×BE=CE²，∴CE²=DE×PE.

技巧五.等比代换法

5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，连接ED并延长，交AB的延长线于点F，求证AB/AC=DF/AF

【分析】由于AD⊥BC，∠BAC=90°，∴∠ADB=∠ADC=90°，又E是AC的中点，∴DE=EC=AC/2，∴∠C=∠CDE，又∠CDE=∠FDB，∵∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠C=∠FDB，又∵∠F=∠F，∴△FDB∽△FAD，∴DB/AD=DF/AF，∵∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠C，∴△ABD∽△CAD，∴BD/AD=AB/AC，∴AB/AC=DF/AF.

技巧六.等线段代换法

6.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥AB，BF交AD于点P，交AC于点E，求证PB²=PE×PF.

【分析】由结论看，PB，PE，PF三线段在同一条线上，无法找到相似三角形，考虑代换，连接PC，而AB=AC，AD是BC边上的中线，则AD垂直平分BC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，而∠ABC=∠ACB，∴∠ABP=∠ACP，又∵CF∥AB，∴∠F=∠ABP，∴∠F=∠ACP，又∠EPC=∠FPC，∴△PEC∽△PCF，∴PC/PF=PE/PC，∴PC²=PE×PF，∵PB²=PE×PF.如图

【总结】几何证明题，多种多样，证等积式等比例式，究竟用什么方法，因题而异，考虑题中的条件，灵活代换，可以是等线段代换.等比代换，等积代换等