托勒密定理及其应用——初中生数学竞赛训练用

提出“地心说”的托勒密，在几何上留有有著名的托勒密定理。

托勒密定理

托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。

如下图已知:四边形ABCD内接于⊙O中，求证AC.BD=AB.DC+BC.AD

证明：以B点为顶点，AB为一边做∠BAE=∠DAC与BD相交于E

⊿ABE与⊿ACD中，

∵∠BAE=∠CAD,

∠ABE=∠ACD(同弧度所对圆周角)

∴⊿ABE～⊿ACD（三角形两角相等三角形相似）

AB:AC=BE:DC=>AB.DC=BE.AC……(1)

⊿BAD与⊿BEC中,

∠BAC=∠EAD

∠BCA=∠EDA

∴⊿BCA～⊿EDA（三角形两角相等三角形相似）

∴BC:ED=AC:AD=>BC.AD=ED.AC……(2)

(1)+(2)

得到

AB.DC+BC.AD=BE.AC+EF.AC=(BE+ED).AC=BD.AC

托勒密定理证明几何题

例题1.等边三角形ABC外一点D,∠BDC=120⁰,求证:AD=BD+BC

证明：

A,B,C,D四点共圆，令正三角形边长为a

由托勒密定理

AB.DC+AC.BD=AD.BC

即

a.DC+a.BD=a.BC

∴DC+BD=BC

例题2.锐角三角形ABC中O是外心，A1,B1,C1是各边中点，求证

OA1+OB1+OC1=R+r，其中R是ABC外接圆半径，r是内切圆半径。

证明：

设AB=c，BC=a，CA=b。如图C1,B1是AB,AC中点，

所以C1B1=1/2BC=1/2a，AB1=1/2AC=1/2b,AC1=1/2AB=1/2c

OC1⊥AB,OC2⊥AC，A,C1,O,B1四点共圆。

由托勒密定理：

OA.C1B1=AC1.OB1+AB1.OC1

R．1/2 a=1/2c.OB1+1/2b.OC1

c.OB1+b.OC1=a.R……(1)

同理

c．OA1+a.OC1=b.R……(2)

a.OB1+b.OA1=c.R…….(3)

而

a. OA1+b.OB1+c.OC1=2S_⊿ABC=(a+b+c).r……(4)

由（1），（2），（3），（4）得

（OA1+OB1+OC1）.(a+b+c)=(a+b+c).(R+r)

从而得到：OA1+OB1+OC1= R+r

托勒密定理直观说明三角公式

和角公式

我们在直径为1的圆中，作下图：

根据托勒密定理我们有：AB.DC+AD.BC=AC.BD

AC=1，也就是说：

sin(α+β)=sinα.cosβ+cosα.cosβ

差角公式

在上图中我们有：sin(α-β)= sinα.cosβ-cosα.cosβ

接着我们代数推导cos(α+β)=?

cos(α+β)=sin(90⁰-α-β)=sin(90⁰-α)cosβ-cos(90⁰-α)sinβ

=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)的公式作为习题，请自己推导。