一道披着代数外衣的几何趣题——来自美国数学邀请赛

如题：

第一眼看到这道题的时候，小编也是一脸懵逼。又是平方相减，又是根号相加的，该如何下手呢？

重点观察等式的结构。分析一下，每个都是平方开根号的和，而且巧合的是刚好出现了5,12,13这三个数字，似乎可以和勾股定理联系起来。勾股定理来自直角三角形，是不是能够从几何的角度来看待上面的问题呢？

不妨一试。

我们先把第一个式子转化为几何图案：x,y,z表示三条线段的长度。x分成两段，还有条长度等于12的线段，竖起来，两个直角三角形，斜边，y和z.....脑海一勾勒，图案跃然纸上：

一目了然。

再看另外两个式子，

豁然开朗。

三角形，三条边，以及分别是12,168/13,56/5的三条高，如此而已。

下面就简单了。

根据面积2S=12x=168y/13=56z/5,可得

于是不妨设

根据海伦公式，有三角形面积

当然，机智的读者可能早就已经猜到答案了。12,15,13，不都是勾股数组吗？(5,12,13), (9,12,15)张口就来啊。

立得y=13，z=15，x=9+5=14，x+y+z=3x=42。严谨一点，就再验算一下。

最后留一个小问题：上面的过程中其实默认了一个很重要的信息，那就是x,y,z一定能构成三角形，而且构成一个锐角三角形。

你会证明吗？