蓝利问题及其变形

蓝利问题这是一道著名的平面几何难题, 是几何学家蓝利(E.M.Langley)在1922年提出的:

蓝利问题

例题1.△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝80度，M、N分别是BC、AC上的点, ∠BAM=60°, ∠ABN=50°，求∠AMN的度数．不能用三角函数。

证明：

作BAD=20°,D在CB上，连接DN两点。

BAN中，∠ BNA=180⁰-80⁰-50⁰=50⁰=∠NBA， BA=NA

BAD中，∠ BDA=180⁰-80⁰-20⁰=80⁰=∠DBA, BA=DA.

ADN中, NA=DA,又 ∠NDA=80⁰-20⁰=60⁰, ADN是等边三角形。

AMD中，∠ DAM=-60⁰-20⁰=40⁰,

∠DMA=20°+20°=40⁰=∠DAM, DM=DA=DN

等腰 MDN中，∠ MDN= BFE-60⁰= 180°-80°-60°=40°

∠DMN=(180⁰-40⁰)/2=70⁰,

∠AMN=∠DMN-∠DMA=70⁰-40⁰=30⁰

下面这个解法看着图形复杂，但更好理解，曾经有人说看了这个解法，如醍醐灌顶.

正十八边形，中心与相邻的两个顶点连接就是80°-20°-80°的三角形，图中是⊿BAC.∠ABN =50°延长BN会形成直线BA5，如上图，BA5关于CA的对称线就是A1B4，∠BAM =60°延长AM就是AB6,关于BC的对称线是B1A5。∠B1CB4=60°，这样⊿B1CB4是等边三角形。AM=MC=MB会有⊿B4MB1与⊿B4MC全等，这就有∠MB4B1=30°，延长B4M过去就是B4A1，也就是说与MN重合，B1B4//AM，所以∠A1MA=∠A1B4B1=30°。

通过特殊构造的角度，将几何对称隐含在代数对称中是这类题目的一大特色。

蓝利问题的若干变形题目

例题2.如图五边形ABCDE的5边都相等，且有∠ABC=2∠EBD，∠EBD=？

解：如图旋转三角形EAB到FCB,则三角形BFD全等于三角形BDE，从而三角形DCF为等边三角形,但C是三角形DBF的外心，所以∠DBF=1/2∠FCD=30度，所以∠ABC=60度。

例题3.等腰三角形ABC的顶角∠BAC=100°，延长AB到D，且使得AD=BC，则∠BAC=？

解：以AC为一边向下作等边三角形ACE，连接D,E则AE=AC，AD=BC,

∠ACB=40°=∠EAD=>⊿ACB≌⊿AED

=>∠DEA=100°

=>DE=AB=AC=EC

=>⊿DEC等腰

=>∠DEC=100°+60°=160°

=>∠EDC=(180°-160°)/2=10°

但∠ABC=40°=∠ADE=>BC//DE=>∠BCD=∠CDE=10°

例题4.⊿ABC中∠ACB=30°，∠ABC=40°，P是⊿ABC内一点使得∠PCB=20°，∠PBC=10°，求∠BAP。

解：

在CP向⊿ABC外做等边三角形⊿CPE，连接B，E交AC于G点延长BP交CE于H。∠CHP=180°-(20°+60°)-10°=90°，

∠HPC=180°-60°-90°=30°，

所以HP平分∠EPC，

得到∠EPB=∠CPB=180°-30°=150°

EP=CP,PB公用

∴⊿EPB≌⊿CPB，

∴∠GEP=20°。

∠ECG=60°-(30°-20°)=50°,

∠CGE=60°+20°=80°,

∠EGC=180°-50°-80°=50°=∠ECG，

EG=EC=EP，

∴⊿GEP是等腰三角形，

∴∠EPG=（180°-20°）/2=80°.

∴∠GPF=180°-80°=100°, ∴∠GPB=100°-30°=70°。

∠GPB+∠GAB=70°+110°=180°，

∴G,P,B,A四点共园，∴∠GPA，∠GAP是该园上共弧的园周角，

∴有∠GAP=∠GBP=10°=>∠BAP=100°

例题5.已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。 当∠BAC不等于90°时,求∠DBC与∠ABC度数的比值。

例题6.如图所示长方形中，求∠COD=？

解：好的对称位置是穿过矩形中心，与边BC垂直，且与OC的交点E。

ABO等腰，以BO为边在三角形ABO内部做等边三角形BFO，三角形AFB与EOB全等。

从而可知：三角形ABE,DCE都是50-80-50的等边三角形。注意到∠OAD=∠DEC=50°，则A,O,E,D四点共圆。从而有∠ODE=∠EAO=10°，得∠DOC=50-10=40°。