【例题 2】如图(1)所示,在矩形 ABCD 中,AB=2 cm,∠ADB=30° .
P,Q 两点分别从 A,B同时出发,点 P 沿折线 AB-BC 运动,在 AB 上的速度是 2 cm/s,在 BC 上的速度是2√3 cm/s;
点 Q 在 BD 上以 2 cm/s 的速度向终点 D 运动,过点 P 作 PN⊥AD,垂足为点 N.
连接 PQ,以 PQ,PN 为邻边作 ▱PQMN .
设运动的时间为 x(s),▱PQMN 与矩形 ABCD 重叠部分的图形面积为 y(cm^2).
图(1)
(1) 当 PQ⊥AB 时,x=________;
(2) 求 y 关于 x 的函数解析式,并写出 x 的取值范围;
(3) 直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1∶3 两部分时,直接写出 x 的值.
【解题思路】
(1) 当 PQ⊥AB 时,BQ=2PB,由此构建方程即可解决问题;
(2) 分三种情形分别求解即可解决问题;
(3) 分两种情形分别求解即可解决问题.
【解答过程】
(1) 当 PQ⊥AB 时,BQ=2PB,如图(2)所示 ;
图(2)
∴ 2x = 2(2-2x).
∴ x = 2/3 s .
(2) ① 如图(3)所示,当 0<x ≤ 2/3 时,重叠部分是四边形 PQMN .
图(3)
过点 Q 作 QH⊥AB 于点 H,由题意,得 QH=cos30° ▪ QB=√3 x,
∴ y=S▱PQMN=AP·QH=2x ▪ √3 x = 2√3 x^2 ;
② 如图(4)所示,当 2/3 <x ≤1 时,重叠部分是四边形 PQGN .
图(4)
设 QM 与 AD 交于点 G,作 QH⊥AB 于点 H.
∴ y= S梯形PQGA=1/2(QG+AP)▪ QH
= 1/2 (2-x+2x) ▪ √3x
= √3/2 x^2 + √3 x ;
③ 如图(5)所示,当 1<x ≤ 2 时,重叠部分是四边形 PNEQ .
图(5)
y=S梯形PQEN= 1/2 (QE+PN) ▪ EN
![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif)
![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif)
(3) ① 如图(6)所示,当直线 AM 经过 BC 中点 E 时,满足条件.
![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif)
图(6)
过点 Q 作 QH⊥AB 于点 H.
由题意,得 BC=2√3,则 BE=√3 .
QH=√3 x,BH=x.
∵ 四边形 APQM 是平行四边形,
∴ AM∥PQ.
∴ ∠EAB=∠QPH.
则有 tan∠EAB=tan∠QPB,
![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif)
解得 x= 2/5 .
② 如图(7)所示,当直线 AM 经过 CD 的中点 E 时,满足条件.
![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif)
图(7)
过点 Q 作 QH⊥AB 于点 H.
此时 tan∠DEA=tan∠QPB,
![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif)
解得 x=4/7 ,
综上所述,当 x=2/5 或 4/7 时,直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成1∶3 两部分.
【归纳总结】
① 本题利用 四边形运动考查 矩形的性质、平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识.
② 解题的关键是学会用 分类讨论的思想 思考问题,学会用 方程的思想 解决问题,属于中考压轴题.