【例题 2】如图(1)所示，在矩形 ABCD 中，AB＝2 cm，∠ADB＝30° .
P，Q 两点分别从 A，B同时出发，点 P 沿折线 AB－BC 运动，在 AB 上的速度是 2 cm/s，在 BC 上的速度是2√3 cm/s；
点 Q 在 BD 上以 2 cm/s 的速度向终点 D 运动，过点 P 作 PN⊥AD，垂足为点 N.
连接 PQ，以 PQ，PN 为邻边作 ▱PQMN .
设运动的时间为 x(s)，▱PQMN 与矩形 ABCD 重叠部分的图形面积为 y(cm^2)．
图（1）
(1) 当 PQ⊥AB 时，x＝________；
(2) 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；
(3) 直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1∶3 两部分时，直接写出 x 的值．
【解题思路】
(1) 当 PQ⊥AB 时，BQ＝2PB，由此构建方程即可解决问题；
(2) 分三种情形分别求解即可解决问题；
(3) 分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答过程】
(1) 当 PQ⊥AB 时，BQ＝2PB，如图（2）所示 ；
图（2）
∴ 2x ＝ 2(2－2x)．
∴ x = 2/3 s .
(2) ① 如图(3)所示，当 0＜x ≤ 2/3 时，重叠部分是四边形 PQMN .
图（3）
过点 Q 作 QH⊥AB 于点 H，由题意，得 QH＝cos30° ▪ QB＝√3 x，
∴ y＝S▱PQMN＝AP·QH＝2x ▪ √3 x = 2√3 x^2 ;
② 如图(4)所示，当 2/3 ＜x ≤1 时，重叠部分是四边形 PQGN .
图（4）
设 QM 与 AD 交于点 G，作 QH⊥AB 于点 H.
∴ y＝ S梯形PQGA＝1/2（QG＋AP）▪ QH
= 1/2 (2－x＋2x) ▪ √3x
= √3/2 x^2 + √3 x ;
③ 如图(5)所示，当 1＜x ≤ 2 时，重叠部分是四边形 PNEQ .
图（5）
y＝S梯形PQEN＝ 1/2 (QE＋PN) ▪ EN
(3) ① 如图(6)所示，当直线 AM 经过 BC 中点 E 时，满足条件．
图（6）
过点 Q 作 QH⊥AB 于点 H.
由题意，得 BC＝2√3，则 BE＝√3 .
QH＝√3 x，BH＝x.
∵ 四边形 APQM 是平行四边形，
∴ AM∥PQ.
∴ ∠EAB＝∠QPH.
则有 tan∠EAB＝tan∠QPB，
解得 x＝ 2/5 .
② 如图(7)所示，当直线 AM 经过 CD 的中点 E 时，满足条件．
图（7）
过点 Q 作 QH⊥AB 于点 H.
此时 tan∠DEA＝tan∠QPB，
解得 x＝4/7 ，
综上所述，当 x＝2/5 或 4/7 时，直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成1∶3 两部分．
【归纳总结】
① 本题利用 四边形运动考查 矩形的性质、平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识.
② 解题的关键是学会用 分类讨论的思想 思考问题，学会用 方程的思想 解决问题，属于中考压轴题．
