巧用射影定理解决双勾股模型问题

我们在学习直角三角形相似时，一般都会归纳出特殊比例关系式，将之称为射影定理。即在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形与原三角形之间彼此相似，并且满足直角边的平方等于它的射影与斜边之积，斜边上高的平方等于两射影之积。这个定理使用的前提条件便是直角三角形中，存在斜边上的高，也是能够使用它的必要条件，用来计算直角三角形相关的线段长度，实在是居家旅行之必备杀器。

题目

如图，已知AB是⊙O的直径，BC，EF是⊙O的弦，且EF⊥AB于点G，交BC于点H，CD与FE延长线交于点D，CD=DH.

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若H为BC中点，AB=10，EF=8，求CD的长.

解析：

(1)凡是证明切线，必连圆心，因此连接OC，目标是证明OC⊥CD。由CD=DH得到一组相等的角∠DCH=∠DHC=∠BHG，由半径相等得到另一组相等的角∠OCB=∠OBC，而它们中∠OBC+∠BHG=90°，于是∠OCB+∠DCH=90°，即OC⊥CD，如下图：

(2)很自然地想到的辅助线是连接OD，意图是在Rt△COD中利用勾股定理来求边长，但可惜的是，只知道OC的长，其余均不知道。但是题目中的H为中点，结合O为AB中点，两个中点极易联想到三角形中位线，于是连接OH，发现它不仅是△ABC中位线，同时由于∠ACB=90°，它与BC是垂直关系。我们的突破口就从这个垂直关系开始，观察△OBH，它是直角三角形，并且HG恰好是它斜边上的高，完美的射影响定理使用环境！当然，必要的前期准备工作得先做好，如下图：

连接OF，OH，OD，首先在Rt△OGF中，利用垂径定理和勾股定理求出OG=3，于是BG=2，然后在Rt△OBH中，使用射影定理求出HG=√6，然后分别观察△OCD和△ODG，它们是一对有着公共斜边的直角三角形，双勾股模型出来了，可列出等量关系式OC²+CD²=OG²+DG²，不妨设CD=x，于是可得到方程：x²+25=(x+√6)²+9，解出x=5√6/6.如下图：

解题反思：

此题的来源是武汉市某名校的一道期末模拟题，但是参考答案上却是使用了相交弦定理，在人教版教材中，这一部分内容是删减掉了，于是寻思着能否采用符合大纲要求的方法，于是便观察出了射影定理模型和双勾股模型。基本方法是利用勾股定理列方程，双勾股模型只是利用了公共斜边的一对直角三角形，而射影定理则是解开此类问题的钥匙。