数学课堂：《一次函数》需要掌握的你掌握了吗？

一元一次方程的相关概念

【例】若（m﹣4）x^2|m|﹣7﹣4m=0是关于x的一元一次方程，求m²﹣2m+1994的值．

【分析】根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程）可列出关于m的方程，得到m的值，进一步求出所需要的结果．【解】依题意，得：

2|m|﹣7=1且m﹣4≠0，

由2|m|﹣7=1得|m|=4，

解得m=4或－4，

由m﹣4≠0可得m≠4，

所以m=﹣4，

∴原式=(－4)²-2×(-4)+1994

=16+8+1994=2018．

【反思】熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．

【练习1】已知关于x的方程（m+5）x^|m|﹣4+18=0是一元一次方程．试求：

（1）m的值；

（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）的值．

【解】（1）依题意，得|m|﹣4=1且m+5≠0，由|m|﹣4=1得m=5或－5；由m+5≠0得m≠-5，所以m=5；

（2）原式＝3（4m﹣1）﹣2（3m+2）=12m﹣3﹣6m﹣4=6m﹣7，

当m=5时，原式=6×5﹣7=23．

【练习2】方程（m﹣2）x^|m|﹣1+1=0是关于x的一元一次方程，求m的值及方程的解．【解】依题意，得：

|m|﹣1=1且m﹣2≠0，

解得m=﹣2．

一元一次方程是﹣4x+1=0．

解得x=1/4．

——相关概念与等式的性质

【相关结论】一元一次方程都可以变形为形如ax=b（a，b为常数，且a≠0）的方程，称为一元一次方程的最简形式．关于x的方程ax=b（a，b为常数，且a≠0）解的讨论：

当a≠0时，是一元一次方程，有唯一解x=b/a；

当a=0，且b=0时，它有无数多个解，任意数都是它的解；

当a=0，且b≠0时，它无解，因为任何数都不可能使等式成立．

（上述结论最好能熟练掌握并记住）

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【例1】讨论关于当x的方程（a﹣4）x=2的解．

【分析】由定义知：应分a﹣4＝0和a﹣4≠0即分a=4和a≠4两种情况根据等式的性质分别考虑．

【解答】解：当a≠4 时，有唯一解x=2/（a-4）；当a=4 时，无解．

【点评】解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．

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【练习1】老师在黑板上写了一个等式：（a+3）x=4（a+3）．王聪说x=4，刘敏说不一定，当x≠4时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由．

【解】他俩的说法正确，

当a+3=0时，x为任意实数，

当a+3≠0时，x=4．

【例2】我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x=﹣4的解为x=﹣2，而﹣2=﹣4+2，则方程2x=﹣4为“和解方程”．

请根据上述规定解答下列问题：

（1）已知关于x的一元一次方程3x=m是“和解方程”，求m的值；

（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x=mn+n是“和解方程”，并且它的解是x=n，求m，n的值．

【分析】按照“新定义”列出等式（方程），再按照等式的性质求解．

【解】（1）∵方程3x=m是和解方程，

∴m/3=m+3，

两边都减去m，得-2m/3＝3，

两边都乘以-3/2，得m=-9/2．

（2）依题意，得：

﹣2n=mn+n且mn+n﹣2=n，

根据等式性质，得：

mn=3n且mn=2．

进一步，得到m=﹣3，n=﹣2/3．

【练习2】我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4的解为2，且2=4﹣2，则该方程2x﹣4是差解方程．

（1）判断3x=4.5是否是差解方程；

（2）若关于x的一元一次方程5x=m+1是差解方程，求m的值．

【解】（1）∵3x=4.5，∴x=1.5，

∵4.5﹣3=1.5，∴3x=4.5是差解方程；

（2）依题意，得m+1﹣5=(m+1)/5，

两边都减去(m+1)/5，得：

4(m+1)/5-5＝0，

两边都加上5，得

4(m+1)/5＝5，

两边再乘以5/4，得m+1=25/4．

两边再减去1，得m=21/4．

一元一次方程的解法专项训练一

【分析】严格按解一元一次方程的步骤进行训练，尽快做到熟练，达到：既快又准！

【详细解答过程】

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