神奇的模型数学（19）—综合运用“三垂直”与“分量与总量”模型

神奇的模型数学（19）

问题提出：

上期巩固练习：如图,点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC,FC=AB，若∠AFB=50°，则∠DFE=______ .

这是正能良比较喜欢的题目，适合于八、九年级学生练习，它需要综合运用“三垂直模型”与“分量与总量模型”.尤其对于八年级学生来说必须掌握好“将军饮马”、“三垂直”、“手拉手”、“分量与总量”等重量级的数学模型，着力培养初中学生对几何图形的感觉（简称“图感”），像这题在同一直线上有多个垂直的问题，就应该想到去构建“三垂直模型”，又∠DFE是∠AFB内部的角就应该大胆的去猜想是不是“分量与总量模型”，总之，数学需要我们勇于探究.

构建模型：

问题解决：

分析：

（1）连接BD、AE；

（2）易证△ABD≌△CFB（SAS），得BD=BF，∠ADB=∠CBF，又∠ADB+∠ABD=90°，所以∠DBF=∠DBA+∠CBF=90°,所以△AEF为等腰直角三角形，∠DFB=45°;

(3)同理可得，∠AFE=45°;

(4)因为∠AFB=50°，所以，∠DFE=∠AFE+∠BFD-∠AFB=40°．

解：如图，连接BD、AE，

∵DA⊥AB，FC⊥AB，

∴AD∥CF,∠DAB=∠BCF=90°，

又∵DA=BC，FC=AB，

∴△ABD≌△CFB(SAS)，

∴BD=BF，∠ADB=∠CBF.

又∵∠ADB+∠ABD=90°，

∴∠DBF=∠DBA+∠CBF=90°,

∴△AEF为等腰直角三角形，

∴∠DFB=45°

同理可得，∠AFB=45°，

又∵∠AFB=50°，

∴∠DFE=∠AFE+∠BFD-∠AFB

=45°+45°-50°=40°．

答：∠DFE度数是40°.

巩固练习（下期预告）：

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1 ：y=2x+3，直线l2 ：y=2x-3.

（1）分别求直线l1 与x轴，直线l 2与AB的交点坐标；

（2）已知点M在第一象限，且是直线l2 上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标.