神奇的模型数学（25）⋯两圆一直线模型

问题提出：

如图1，在正方形ABCD所在的平面内，画出与正方形各边均构成等腰三角形的点P，并指出这样的点多少几个。

在学了等腰三角形这一知识点后，经常会接触到求与已知线段构成等腰三角形的问题。俗话说得好：兵来将挡，水来土掩.对于此类问题就需要运用“两圆一直线模型”来解决。

数学模型：

问题解决：

解：如图3，分别以正方形ABCD的四个顶点为圆心，正方形的边长为半径画圆，四个圆分别两两相交于P1 、P2 、P3 、P4 、P5 、P6 、P7 、P8 ，又直线P5 P7 与P6 P8 相交于P9 .所以在正方形ABCD所在的平面内，与正方形各边均构成等腰三角形的点共有9个，它们分别是P1 、P2 、P3 、P4 、P5 、P6 、P7 、P8 、P9 。

举例应用：

例1.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，3），试在坐标轴上找一点P，使得△ABP为等腰三角形，问符合条件的点P有多少个？

解：如图4，分别以A、B为圆心，AB的长为半径画圆，两圆相交于M、N,且两圆分别交坐标轴于P1 、P2、P3 、P4 、P5 、P6 ，连MN交y轴于点P7 ，所以符合条件的点P有7个，它们分别是P1 、P2 、P3 、P4 、P5 、P6 、P7

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例2.如图，△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒。

(1)当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分。

(2)当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时P经过的路程；

(3)画出P点的位置,使得△BCP为等腰三角形 (保留作图)

分析：

（1）先求出△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，再根据时间=路程÷速度即可求解；

（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；

（3）用两圆一直线模型解决问题；

解：

(1)△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，

∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，

∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，

此时CA+AP=BP+BC=12cm,

∴2t=12，

∴t=6；

(2)当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，

此时CA+AP=8+5=13(cm)，

∴2t=13，

∴t=6.5；

(3)如图5，以C为圆心，BC的长为半径画圆，交AC于P1 ，交AB于P2 ;再以B为圆心，BC的长为半径画圆，交AB于P3 ,两圆相交于两圆相交于M、N,连MN交AB于点P4 ，所以使得△BCP为等腰三角形的P有4个，它们分别是P1 、P2 、P3 、P4 .