真题详解

例1.(构造平行线型问题）如图所示，△ABC中，D为BC边上的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于点P，若AD=2DE，求证：AP=3AB。

【解析】

证法1 如图所示，

过B作BK//PC交AE于点K，

所以AE：AK=AP：AB。

∵BD=DC，

∴DK=DE，

又∵AD=2DE，所以AE：AK=3: 1。

∴AP：AB=3 : 1。AP=3AB。

证法2如图所示，

过D作DG//PC交AP于点G。

在△BPC中，因为BD=DC，∴BG=GP。

在△APE中，因为AD=2DE，∴AG=2GP。

∴AG=2BG，AB=BG=GP

∴AP=3AB.

证法3如图所示，

取CP的中点M，连接DM，

∵D是BC的中点，

∴DM//AP，BP=2DM.

在△AEP中，因为DM//AP，

∴△AEP∽△DEM

∴AP/DM=AE/DE，

又∵AD=2DE，∴AE：DE=3:1=3，即AP=3DM.

∵AB=AP-PB=DM，

∴AP=3AB。

证法4如图所示，

延长DE至F使EF=DE，连接CF，

则DF=2DE=AD，∴AE=3EF。

又∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，

∴△ADB≌△FDC，

∴AB=FC，∠BAD=∠F，∴AP//CF

∴△AEP∽△FEC，

∴AP/FC=AE/EF=3.

∴AP=3FC，即AP=3AB。

解题小结

⑴ 当证线段成比例时，常常选已知或求证线段的端点作平行线的起点，使有关线段成比例。

⑵ 当有一对线段相等时，必要时过一线段的端点作平行线，构造出相似形。

⑶ 当有一对角相等时，必要时过角的一边作平行线，构造出相似形。

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