初中数学：用“几何构图法”求解中考三角函数题

三角函数是中考必考题，除了直接考察外，也可以作为一种计算工具出现在直角三角形的相似计算中。而初中生大都仅熟悉30°，45°，60°这几个特殊角的三角函数值，当出现其他边角比例关系时，常常捉襟见肘。事实上，我们可以用“几何构图法”求解一类中考三角函数题。

例题：已知：tanα=1/2，求tan2α=_______

这个题目用高中公式可以快速求解，但是初中生怎么办呢？α又不是特殊角，初中生不好直接求解。但是可以可以用两种“几何构图法”。

方法1：直角三角形构图法：等腰+外角=半倍角。由tanα=1/2，可以构造一个直角边1:2的直角三角形△ABC，在BC取一点D，使AD=DC,由“等腰+外角=半倍角”得∠ADB=2α，设AD=DC=x，则BD=2x，在直角三角形△ABD中利用勾股定理解出x即可。如图：

方法2：矩形构图法：一线三等角+内错角相等。如图，构造直角三角形△ABC和△ACD使他们的直角边之比都是1:2，那么就可以出现2α了，这时候把他“补”成矩形ABEF。设BC=2,AB=4而图中染色的两个三角形是“一线三等角”相似，由内错角相等得∠ADF=∠BAD=2α.再由矩形对边相等，口算易得FD=3,AF=4,口算tan∠ADF=tan2α=4/3。

下面看一道无锡市中考数学题，巧用“几何构图法”求解。如图：

显然这道题可以做辅助线把∠BOD放在直角三角形里，在此不表，本文只举例构图法。如图：

如图解分析，作和CD平行的线段，将∠BOD“转移”，而转移后的角显然等于α+β，显然tanα=1,tanβ=1:2.这时候只要将α和β重新矩形构图即可，具体方法参考上题的方法2.显然有染色的两个直角三角形是全等的，所以矩形的宽就是1+2=3，而矩形的长是1+1=2.再由于矩形对边平行可得α+β这个角转化在上方了，在左侧一个直角三角形中，显然tan(α+β)=2.

解后反思：这个模型中有“一线三等角”相似+矩形对边相等+平行线内错角相等，内涵丰富，有机配合。漂亮的是，这套方法具有“广谱性”，不仅仅可以求正切值，也可以通过正切值间接求正弦，余弦。可以“模式化”解题，尤其在一些复杂背景下的求角计算中，常有奇效。