【每日一题54】过原点、正方形顶点的抛物线，参数取值范围的讨论

54.如图，在正方形EFGH中，E（0，4－t），F（t，0），其中0<t<4，G，H在第一象限. GM⊥x轴，HN⊥y轴，垂足分别为M，N. 设过O，G两点的抛物线y=ax^²＋bx＋c.

（1）当t=1时，连接OH，若此时抛物线与线段OH只有唯一的公共点O，求a的取值范围；

（2）若a＞0，且抛物线的对称轴是直线x=2-1/(2t)，当顶点随t值增大向上移动时，求t的取值范围.

【每日一题53】分析解答（原题见页底“了解更多”链接）

（1）

①45°.

②分两种情况.

第一种情况（如图）：

∵∠SMT=∠STM=45°，

∴∠MST=180°－45°－45°=90°.

由折叠可知：∠SMQ=∠R=45°，∠MSQ=∠RSQ.

又∵QR∥ST，∴∠RST=∠R=45°，

∴∠MSR=∠MST－∠RST= 90°－45°=45°，

即 ∠MSQ+∠RSQ=45°，

∴∠MSQ=22.5°.

此时，当 N与T重合时，k的值最小，最小值是2；

第二种情况（如图）：

∵QR∥ST，∴∠STM=∠RQM=45°，

即 ∠MQS+∠RQS=45°，

由折叠可知：∠MQS=∠RQS，

∴∠MQS=∠RQS=22.5°，

∵QR∥ST，∴∠TSQ=∠RQS=22.5°，

∴∠MSQ=90°+22.5°=112.5°.

此时，当 N与Q重合时，k的值最小.

设PS=PM=x，则MS= TS= （根号2）x，

在Rt△MST中，∠MST＝90°

由勾股定理得 MT= （根号2）MS=2x，

∵∠MQS=∠RQS， ∠TSQ=∠RQS，

∴∠MQS=∠TSQ， ∴TS=TQ=（根号2）x，

∴MN=MQ=2x +（根号2）x，

∴k的最小值=2＋（根号2）

（2）

如图，过点S作SJ⊥MN于Q，则∠MJS=∠TJS=90°，

∵在矩形TNOW中，WO∥TN，又RT⊥TN，

∴RT⊥OW，

∠RWS=∠SWT=∠WTQ=90°，

∴∠RWS=∠SJM， ∠SWT =∠WTJ=∠SJT =90°，

∴四边形SJTW为矩形，

∴SJ=WT ，SW=JT.

∵SM=ST， SJ⊥MN

∴MJ=TJ，∴MJ=SW，

在Rt△MJS和Rt△SWR中， MS=SR AJ=SW

∴Rt△MJS≌ Rt△SWR，

∴SJ=RW

又∵SJ=WT ， ∴WT=WR.

∵∠P=∠PWT =∠MTW =90°，

∴四边形MTWP为矩形，

∴MP=WT ，∴WT=WR=MP

设MP=x，TN=y 则MN=kx，

WT=WR=MP=x，RT=2x，

QT=2y，MQ=QR=kx-3y，

由折叠可知，∠MQS=∠RQS=60°，

∴∠RQT=180°－60°－60°=60°，

在Rt△QRT中，RT=QT×tan60°，

x=（根号3）y，

RT=QRsin60°，

2x=（kx－3y）（根号3）/2

∴ k=7（根号3）/3

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