由一道几何题说起——根轴的性质

如图，两圆相交于直线MN，在交线MN上取A, C两点，分别向两圆做切线AD、AB和CD、CB，切点分别为S、P、R和Q。

已知AD=8,AB=12，CD=10。求BC

解答：容易知道，直线MN是两圆的根轴。从根轴上的点向两圆做切线段，则切线段长度相等。于是AS=AP,CR=CQ。结合切线的性质，有DS=DR,BP=BQ故AD+BC=AS+DS+CQ+BQ=AP+DR+CR+BP=AP+BP+DR+CR=AB+DC于是BC=AB+DC-AD=12+10-8=14。

关于圆的根轴

要讲根轴，首先讲讲圆幂定理。

圆幂定理：对任意给定的半径为r的圆O,和一点A,设过点A的一条直线与圆O交于P，Q两点，则乘积 AP·AQ为定值，且

比如对上面的图，A点在圆的外部，就有

(切线可看作割线的两个交点重合的特殊情况。）点在圆的内部时，结论类似，也就是相交弦定理，这里不再赘述。

事实上，如果点在圆的内部，则AO^2- r^2 <0,为了避免式子中的绝对值，将线段乘积改成向量点积，圆幂定理可叙述如下：

过点A的直线交圆O于P、Q两点，则

我们就把上面的向量点积 AP·AQ叫做点A对圆O的幂。

点积的符号反映了点与圆周的位置关系，而点积的大小则反映了点到圆周的距离大小。

点积>0，在圆周外；点积=0，在圆周上；点积<0，在圆周内。

一旦点和圆的位置、大小确定，那么上面的向量点积也就确定了。跟直线的选取无关（如上图）。

有没有似曾相识的感觉？

不妨从解析几何的角度，来看看这个圆幂的本质。

以（a,b)为圆心，r为半径的圆的经典方程是

不妨改写成

设函数

则所谓的圆，就是f(x,y)=0的点的集合。

点对圆的幂又是什么呢？

设A(m,n),则A对圆的幂

点A对圆的幂，就是f(A)！

什么叫根轴呢？先看一个概念，等幂点。

给定一个圆O，如果两个点到圆O的幂相等（大小相等且符号相同），则称这两个点对圆O是等幂点。

显而易见，对给定的幂，所有等幂点与原来的圆构成一个同心圆。

比如上图，大圆上的任意点对小圆的幂都相等，其值为R^2 - r^2

事实上，圆自身就是一个等幂点的集合，零幂点集！

从解析几何的角度，就更直观了：所谓等幂点，就是满足“f(x,y)=给定值”的点的集合。而圆，不过是这个给定值恰好为0的特殊情形罢了，也就是，零幂点集。

理解了圆幂和等幂点，根轴的概念就很容易理解了。

对于两个不同的圆,不妨设其一般方程为f(x,y)=0和g(x,y)=0（平方项前面的系数均为1），我们把对两个圆的幂相等的点的集合称为这两个圆的根轴。前面已经知道，点A对圆f(x,y)=0和g(x,y)=0的幂，其实就是f(A)和g(A),所以这两个圆的根轴，也就是满足f(A)=g(A)的所有点的集合。

显而易见，两个圆的根轴是一条直线。其方程为f(x,y)=g(x,y)，或者f(x,y)-g(x,y)=0。

对于相交的圆，有一个非常重要的结论：相交圆的根轴就是两圆公共弦所在的直线！

如上图，两圆交于M,N两点，则直线MN为这两个圆的根轴。

这很好理解。我们已经知道，两个圆的根轴一定是一条直线，而两点确定一条直线。显然，M点在两个圆周上，故M 点到两个圆的幂均为零，是一个等幂点，同理N点也是一个等幂点。于是M,N所在的直线正是两个圆的根轴。

有了上面的知识，原题也就迎刃而解了。